kaoyan1basic 高等数学 第259题
📝 题目
## 第259题 (高等数学 - 选择题) 累次积分 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{2 \sin \theta} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r$ 可写成 （A） $\int_{0}^{2} \mathrm{~d} x \int_{0}^{1+\sqrt{1-x^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} y$ ． （B） $\int_{0}^{2} \mathrm{~d} x \int_{0}^{\sqrt{2 x-x^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} y$ ． （C） $\int_{0}^{2} \mathrm{~d} y \int_{0}^{\sqrt{2 y-y^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} x$ ． （D） $\int_{0}^{2} \mathrm{~d} x \int_{0}^{2} f(x, y) \mathrm{d} y$ ．
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：步骤1：极坐标下，$r$从$0$到$2\sin\theta$，$\theta$从$0$到$\displaystyle \frac{\pi}{2}$，对应圆$x^2+(y-1)^2=1$的右半部分。 步骤2：直角坐标下，$x$从$0$到$2$，$y$从$0$到$\sqrt{2x-x^2}$，即$\int_0^2 dx\int_0^{\sqrt{2x-x^2}} f(x,y)dy$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：识别极坐标积分区域
极坐标下，积分区域由 r 从 0 到 2sinθ，θ 从 0 到 π/2 描述。r=2sinθ 对应圆 r=2sinθ，即 x^2+(y-1)^2=1，且 θ∈[0,π/2] 表示右半圆（x≥0）。
公式：r=2sinθ ⇒ x^2+(y-1)^2=1
提示：注意极坐标与直角坐标的转换：x=rcosθ, y=rsinθ。
步骤 2/3
目标：转换为直角坐标积分
在直角坐标下，x 从 0 到 2（右半圆 x 范围），对于每个 x，y 从 0 到 √(2x-x^2)（圆方程解出 y=1±√(1-x^2)，但 y≥0 且 x≥0 取 y=1-√(1-x^2)？实际上圆 x^2+(y-1)^2=1 在 x≥0 时，y 从 0 到 2，但积分区域是右半圆的上半部分？注意原极坐标 r 从 0 到 2sinθ，θ 从 0 到 π/2，对应圆内且 y≥0 的部分（因为 r≥0, sinθ≥0），所以 y 从 0 到 √(2x-x^2)（因为 y=√(2x-x^2) 是圆的上半部分）。
公式：y = √(2x-x^2)
提示：注意圆方程 x^2+(y-1)^2=1 可化为 y=1±√(1-x^2)，但 y 从 0 到 2，而 √(2x-x^2) 正是上半圆。
步骤 3/3
目标：写出直角坐标积分形式
因此直角坐标下积分顺序为先 x 后 y 或先 y 后 x。选项 B 为 ∫_0^2 dx ∫_0^{√(2x-x^2)} f(x,y) dy，符合区域描述。
提示：检查其他选项：A 中 y 上限 1+√(1-x^2) 对应整个圆，C 中 x 上限 √(2y-y^2) 对应左半圆，D 为矩形，均不正确。
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