kaoyan1basic 高等数学 第261题
📝 题目
## 第261题 (高等数学 - 选择题) 设区域 $D$ 由 $y=x, y=x+1, y=1, y=3$ 围成，则 $\iint_{D} y \mathrm{~d} \sigma=$ （A） 2 ． （B） 3 ． （C） 4 ． （D） 6 ．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：步骤1：区域$D$由$y=x$，$y=x+1$，$y=1$，$y=3$围成，选择先$x$后$y$积分，$y$从$1$到$3$，$x$从$y-1$到$y$。 步骤2：$\displaystyle \iint_D y d\sigma=\int_1^3 dy\int_{y-1}^y y dx=\int_1^3 y\cdot1 dy=\frac{1}{2}(9-1)=4$。 **难度**：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：确定积分次序和积分限
区域D由直线y=x, y=x+1, y=1, y=3围成。选择先对x后对y积分，y从1到3，对于每个y，x从y-1到y。
提示：画图帮助理解区域形状，注意边界直线方程。
步骤 2/2
目标：写出二重积分并计算
∬_D y dσ = ∫_{y=1}^{3} dy ∫_{x=y-1}^{y} y dx = ∫_1^3 y * [x]_{x=y-1}^{y} dy = ∫_1^3 y * (y - (y-1)) dy = ∫_1^3 y * 1 dy = ∫_1^3 y dy = [1/2 y^2]_1^3 = 1/2 (9-1) = 4。
公式：∫_1^3 y dy = 1/2 y^2|_1^3
提示：注意内层积分时y视为常数。
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