kaoyan1basic 高等数学 第262题
📝 题目
## 第262题 (高等数学 - 选择题) 设积分区域 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 2 x+2 y\right\}$ ，则 $\iint_{D}\left(x^{2}+x y+y^{2}\right) \mathrm{d} \sigma=$ （A） $6 \pi$ ． （B） $8 \pi$ ． （C） $10 \pi$ ． （D） $12 \pi$ ． （4）纠错笔记
💡 答案解析
**答案**：A **解析**：步骤1：区域$D:x^2+y^2\leq2x+2y$，即$(x-1)^2+(y-1)^2\leq2$，圆心$(1,1)$，半径$\sqrt{2}$。 步骤2：利用对称性，令$u=x-1$，$v=y-1$，则$x^2+xy+y^2=(u+1)^2+(u+1)(v+1)+(v+1)^2=u^2+uv+v^2+3u+3v+3$，区域变为$u^2+v^2\leq2$。 步骤3：积分$\iint_{u^2+v^2\leq2}(u^2+uv+v^2+3u+3v+3)dudv$，其中$uv$、$3u$、$3v$为奇函数，积分为0；$u^2+v^2$的积分用极坐标：$\displaystyle \int_0^{2\pi}d\theta\int_0^{\sqrt{2}} r^2\cdot r dr=2\pi\cdot\frac{1}{4}(\sqrt{2})^4=2\pi\cdot1=2\pi$；常数3的积分：$3\cdot\pi(\sqrt{2})^2=6\pi$，总和$2\pi+6\pi=8\pi$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：化简积分区域
将区域 D 的方程 x^2+y^2 ≤ 2x+2y 化为标准形式：x^2-2x+y^2-2y ≤ 0，配方得 (x-1)^2+(y-1)^2 ≤ 2，即圆心为 (1,1)，半径为 √2 的圆盘。
公式：(x-1)^2+(y-1)^2 ≤ 2
提示：注意配方时一次项系数的一半平方。
步骤 2/6
目标：利用平移变换简化被积函数
令 u = x-1，v = y-1，则区域变为 u^2+v^2 ≤ 2。被积函数 x^2+xy+y^2 用 u,v 表示：x=u+1，y=v+1，代入得 (u+1)^2+(u+1)(v+1)+(v+1)^2 = u^2+uv+v^2+3u+3v+3。
公式：x^2+xy+y^2 = u^2+uv+v^2+3u+3v+3
提示：展开时注意合并同类项。
步骤 3/6
目标：利用对称性简化积分
积分区域关于 u 轴和 v 轴对称，被积函数中 uv、3u、3v 均为奇函数，故其积分为 0。只需计算 u^2+v^2 和常数 3 的积分。
公式：∬_{u^2+v^2≤2} (u^2+v^2) dudv 和 ∬_{u^2+v^2≤2} 3 dudv
提示：奇函数在对称区域积分为零。
步骤 4/6
目标：计算 u^2+v^2 的积分
使用极坐标：u=r cosθ，v=r sinθ，则 u^2+v^2=r^2，面积元 dudv=r dr dθ，积分区域 r∈[0,√2]，θ∈[0,2π]。积分 = ∫_0^{2π} dθ ∫_0^{√2} r^2·r dr = 2π · (1/4) (√2)^4 = 2π · 1 = 2π。
公式：∬_{u^2+v^2≤2} (u^2+v^2) dudv = ∫_0^{2π} dθ ∫_0^{√2} r^3 dr = 2π
提示：注意 r^3 的原函数为 r^4/4。
步骤 5/6
目标：计算常数项的积分
常数 3 的积分等于 3 乘以区域面积。区域面积为 π(√2)^2 = 2π，故积分 = 3 × 2π = 6π。
公式：∬_{u^2+v^2≤2} 3 dudv = 3 × 2π = 6π
提示：圆盘面积公式 πR^2。
步骤 6/6
目标：求和得到最终结果
总积分 = 2π + 6π = 8π。因此答案为 B。
公式：原积分 = 2π + 6π = 8π
提示：注意检查计算。
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