kaoyan1basic 高等数学 第263题
📝 题目
## 第263题 (高等数学 - 选择题) 设积分区域 $D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ ，则二重积分 $\displaystyle I=\iint_{D} \frac{\mathrm{~d} \sigma}{\left(1+x^{2}+y^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}=$ （A）$\displaystyle \frac{\pi}{2}$ ． （B）$\displaystyle \frac{\pi}{3}$ ． （C）$\displaystyle \frac{\pi}{4}$ ． （D）$\displaystyle \frac{\pi}{6}$ ．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：步骤1：积分区域为正方形$0\leq x\leq1$，$0\leq y\leq1$，被积函数关于$x,y$对称，且分母为$(1+x^2+y^2)^{3/2}$。 步骤2：利用极坐标，但区域不是圆域，可先对$x$积分。$\displaystyle I=\int_0^1 dy\int_0^1 \frac{dx}{(1+x^2+y^2)^{3/2}}$。 步骤3：令$x=\sqrt{1+y^2}\tan t$，则$dx=\sqrt{1+y^2}\sec^2 t dt$，$(1+x^2+y^2)^{3/2}=(1+y^2)^{3/2}\sec^3 t$，积分变为$\displaystyle \int_0^{\arctan\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}} \frac{\sqrt{1+y^2}\sec^2 t}{(1+y^2)^{3/2}\sec^3 t}dt=\frac{1}{1+y^2}\int_0^{\arctan\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}} \cos t dt=\frac{1}{1+y^2}\sin(\arctan\frac{1}{\sqrt{1+y^2}})=\frac{1}{1+y^2}\cdot\frac{1}{\sqrt{2+y^2}}$。 步骤4：$\displaystyle I=\int_0^1 \frac{dy}{(1+y^2)\sqrt{2+y^2}}$，令$y=\sqrt{2}\tan u$，则$dy=\sqrt{2}\sec^2 u du$，$1+y^2=1+2\tan^2 u$，$\sqrt{2+y^2}=\sqrt{2}\sec u$，积分限$u=0$到$\displaystyle \arctan\frac{1}{\sqrt{2}}$，化简得$\displaystyle \int_0^{\arctan\frac{1}{\sqrt{2}}} \frac{\sqrt{2}\sec^2 u}{(1+2\tan^2 u)\sqrt{2}\sec u}du=\int_0^{\arctan\frac{1}{\sqrt{2}}} \frac{\sec u}{1+2\tan^2 u}du=\int_0^{\arctan\frac{1}{\sqrt{2}}} \frac{\cos u}{\cos^2 u+2\sin^2 u}du=\int_0^{\arctan\frac{1}{\sqrt{2}}} \frac{\cos u}{1+\sin^2 u}du$。 步骤5：令$t=\sin u$，$dt=\cos u du$，$u=0$时$t=0$，$\displaystyle u=\arctan\frac{1}{\sqrt{2}}$时$\displaystyle \sin u=\frac{1}{\sqrt{3}}$，则$\displaystyle I=\int_0^{\frac{1}{\sqrt{3}}} \frac{dt}{1+t^2}=\arctan\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\pi}{6}$。 **难度**：★★★★☆