kaoyan1basic 高等数学 第265题
📝 题目
## 第265题 (高等数学 - 选择题) 设积分区域 $D$ 是由曲线 $y=\sqrt{x}$ ，直线 $y=1$ 及 $y$ 轴围成，则 $\displaystyle \iint_{D} \frac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=$ （A） $\displaystyle 1+\frac{2}{\mathrm{e}}$ ． （B） $\displaystyle 1-\frac{2}{\mathrm{e}}$ ． （C） $\displaystyle 1-\frac{1}{\mathrm{e}}$ ． （D） $\displaystyle 1+\frac{1}{\mathrm{e}}$ ． 答题 区
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：积分区域$D$由$y=\sqrt{x}$，$y=1$及$y$轴围成，即$0 \le y \le 1$，$0 \le x \le y^2$。 步骤2：交换积分次序得 $$ \iint_D \frac{1}{\sqrt{x}} e^{-y^2} dx dy = \int_0^1 e^{-y^2} dy \int_0^{y^2} \frac{1}{\sqrt{x}} dx = \int_0^1 e^{-y^2} \cdot 2y \, dy. $$ 步骤3：令$u = y^2$，则$du = 2y dy$，积分变为 $$ \int_0^1 e^{-u} du = 1 - \frac{1}{e}. $$ **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定积分区域并交换积分次序
积分区域D由曲线y=√x，直线y=1及y轴围成，即0≤y≤1，0≤x≤y²。交换积分次序，先对x积分，再对y积分。
公式：∬_D f(x,y) dxdy = ∫_0^1 dy ∫_0^{y^2} (1/√x) e^{-y^2} dx
提示：注意曲线y=√x等价于x=y²，且y从0到1。
步骤 2/3
目标：计算内层积分
计算∫_0^{y^2} (1/√x) dx = 2√x |_0^{y^2} = 2y。
公式：∫ (1/√x) dx = 2√x + C
提示：注意√(y²)=y，因为y≥0。
步骤 3/3
目标：计算外层积分
原积分化为∫_0^1 e^{-y^2} * 2y dy。令u=y²，则du=2y dy，积分限u从0到1，得∫_0^1 e^{-u} du = 1 - 1/e。
公式：∫ e^{-u} du = -e^{-u} + C
提示：换元时注意积分限的变化。
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