kaoyan1basic 高等数学 第266题
📝 题目
## 第266题 (高等数学 - 选择题) 设积分区域 $D$ 由 $y=x$ 与 $y^{2}=x$ 围成，则 $\displaystyle \iint_{D} \frac{\sin \pi y}{y} \mathrm{~d} \sigma=$ （A）$\pi$ ． （B）$-\pi$ ． （C）$\displaystyle \frac{1}{\pi}$ ． （D）$\displaystyle -\frac{1}{\pi}$ ．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：区域$D$由$y=x$与$y^2=x$围成，交点$(0,0)$和$(1,1)$，可表示为$0 \le y \le 1$，$y^2 \le x \le y$。 步骤2：先对$x$积分： $$ \iint_D \frac{\sin \pi y}{y} d\sigma = \int_0^1 \frac{\sin \pi y}{y} dy \int_{y^2}^y dx = \int_0^1 \frac{\sin \pi y}{y} (y - y^2) dy = \int_0^1 (1 - y) \sin \pi y \, dy. $$ 步骤3：计算得 $$ \int_0^1 (1-y) \sin \pi y \, dy = \left[ -\frac{1-y}{\pi} \cos \pi y \right]_0^1 - \int_0^1 \frac{1}{\pi} \cos \pi y \, dy = \frac{1}{\pi} - 0 = \frac{1}{\pi}. $$ **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定积分区域并选择积分次序
由 y=x 与 y^2=x 围成的区域，解交点得 (0,0) 和 (1,1)。选择先对 x 后对 y 积分，区域表示为 0≤y≤1，y^2≤x≤y。
提示：注意选择积分次序使计算简便，此处被积函数含 sin(πy)/y，先对 x 积分可消去分母中的 y。
步骤 2/3
目标：化为累次积分并计算内层积分
将二重积分化为累次积分：∫_0^1 dy ∫_{y^2}^y (sin(πy)/y) dx。内层积分对 x 得 (sin(πy)/y)*(y - y^2) = (1-y) sin(πy)。
公式：∫_{y^2}^y dx = y - y^2
提示：内层积分时，被积函数与 x 无关，直接乘以区间长度。
步骤 3/3
目标：计算定积分
计算 ∫_0^1 (1-y) sin(πy) dy。使用分部积分法：令 u=1-y, dv=sin(πy)dy，则 du=-dy, v=-cos(πy)/π。得原式 = [-(1-y)cos(πy)/π]_0^1 - ∫_0^1 (cos(πy)/π) dy = (1/π) - (1/π)∫_0^1 cos(πy) dy = (1/π) - (1/π)[sin(πy)/π]_0^1 = 1/π。
公式：∫ (1-y) sin(πy) dy = (1-y)(-cos(πy)/π) - ∫ (-cos(πy)/π)(-1) dy = ...
提示：分部积分时注意符号，最后结果为 1/π。
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