kaoyan1basic 高等数学 第61题
📝 题目
### 第61题 设 $f(x)$ 为连续函数，$\varphi$ 为常数， $\displaystyle \int_{0}^{2 \pi} f(\sin (x+\varphi)) \mathrm{d} x=A \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) \mathrm{d} x$ ，则 $A=$ $\_\_\_\_$。 －纠错笔记
💡 答案解析
**答案**：$2$ **解析**： 步骤1：利用周期性，$\int_0^{2\pi} f(\sin(x+\varphi))dx$与$\varphi$无关，令$\varphi=0$得$\int_0^{2\pi} f(\sin x)dx$。 步骤2：由对称性，$\int_0^{2\pi} f(\sin x)dx = 2\int_0^{\pi} f(\sin x)dx$，而$\int_0^{\pi} f(\sin x)dx = 2\int_0^{\pi/2} f(\sin x)dx$。 步骤3：又$\int_{-\pi/2}^{\pi/2} f(\sin x)dx = 2\int_0^{\pi/2} f(\sin x)dx$，故$\int_0^{2\pi} f(\sin x)dx = 2\int_{-\pi/2}^{\pi/2} f(\sin x)dx$，所以$A=2$。
**难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：利用周期性简化积分
由于被积函数f(sin(x+φ))是周期为2π的函数，且积分区间长度为2π，因此积分值与φ无关。令φ=0，原积分化为∫_0^{2π} f(sin x) dx。
提示：周期函数的定积分性质：若f(x)周期为T，则∫_a^{a+T} f(x)dx与a无关。
步骤 2/3
目标：利用对称性将积分区间缩小
由sin x的对称性，∫_0^{2π} f(sin x)dx = 2∫_0^π f(sin x)dx。又因为sin x在[0,π]上关于x=π/2对称，所以∫_0^π f(sin x)dx = 2∫_0^{π/2} f(sin x)dx。
公式：∫_0^{2π} f(sin x)dx = 4∫_0^{π/2} f(sin x)dx
提示：利用sin x在[0,π]上的对称性：sin(π-x)=sin x。
步骤 3/3
目标：计算右边积分并比较系数
右边积分∫_{-π/2}^{π/2} f(sin x)dx，由于被积函数为偶函数，所以∫_{-π/2}^{π/2} f(sin x)dx = 2∫_0^{π/2} f(sin x)dx。因此左边=4∫_0^{π/2} f(sin x)dx = 2 * [2∫_0^{π/2} f(sin x)dx] = 2 * ∫_{-π/2}^{π/2} f(sin x)dx。所以A=2。
公式：∫_0^{2π} f(sin x)dx = 2∫_{-π/2}^{π/2} f(sin x)dx
提示：偶函数在对称区间上的积分性质。
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