kaoyan1basic 高等数学 第62题
📝 题目
### 第62题 $f(x)=$\left\{\begin{array}{cc}x \mathrm{e}^{-x^{2}}, & x \geqslant 0 \\ \frac{1}{1+\cos x}, & -1
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{1}{2}(1-e^{-4})+\tan\frac{1}{2}$ **解析**： 步骤1：令$u=x-2$，则$dx=du$，积分限变为$u: -1\to2$，原积分$=\int_{-1}^2 f(u)du$。 步骤2：分段：$\displaystyle \int_{-1}^0 f(u)du + \int_0^2 f(u)du = \int_{-1}^0 \frac{1}{1+\cos u}du + \int_0^2 u e^{-u^2}du$。 步骤3：第一项：$\displaystyle \frac{1}{1+\cos u}=\frac{1}{2\cos^2(u/2)}$，积分得$\tan(u/2)\big|_{-1}^0 = 0 - \tan(-1/2) = \tan(1/2)$。 步骤4：第二项：$\displaystyle \int_0^2 u e^{-u^2}du = -\frac{1}{2}e^{-u^2}\big|_0^2 = -\frac{1}{2}(e^{-4}-1)=\frac{1}{2}(1-e^{-4})$。 步骤5：总和为$\displaystyle \frac{1}{2}(1-e^{-4})+\tan\frac{1}{2}$。
**难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：变量代换
令 u = x-2，则 dx = du，积分限 x:1→4 变为 u:-1→2，原积分 = ∫_{-1}^{2} f(u) du。
公式：∫_{1}^{4} f(x-2) dx = ∫_{-1}^{2} f(u) du
提示：注意积分限的变换：下限 x=1 对应 u=-1，上限 x=4 对应 u=2。
步骤 2/5
目标：分段积分
由于 f(u) 在 u≥0 和 u<0 表达式不同，将积分区间分为 [-1,0] 和 [0,2]：∫_{-1}^{2} f(u) du = ∫_{-1}^{0} f(u) du + ∫_{0}^{2} f(u) du = ∫_{-1}^{0} 1/(1+cos u) du + ∫_{0}^{2} u e^{-u^2} du。
公式：∫_{-1}^{2} f(u) du = ∫_{-1}^{0} 1/(1+cos u) du + ∫_{0}^{2} u e^{-u^2} du
提示：分段点 u=0 处 f(u) 由定义给出，注意 f(0)=0·e^0=0，但积分时开区间不影响结果。
步骤 3/5
目标：计算第一项积分
利用三角恒等式 1+cos u = 2 cos^2(u/2)，则 1/(1+cos u) = 1/(2 cos^2(u/2)) = (1/2) sec^2(u/2)。积分得 ∫ (1/2) sec^2(u/2) du = tan(u/2) + C。代入上下限：tan(0/2) - tan((-1)/2) = 0 - tan(-1/2) = tan(1/2)。
公式：∫_{-1}^{0} 1/(1+cos u) du = tan(u/2) |_{-1}^{0} = tan(1/2)
提示：注意 tan 是奇函数：tan(-1/2) = -tan(1/2)。
步骤 4/5
目标：计算第二项积分
∫_{0}^{2} u e^{-u^2} du，令 t = u^2，则 dt = 2u du，u du = dt/2，积分限 u:0→2 对应 t:0→4。原积分 = (1/2) ∫_{0}^{4} e^{-t} dt = -(1/2) e^{-t} |_{0}^{4} = -(1/2)(e^{-4} - 1) = (1/2)(1 - e^{-4})。
公式：∫_{0}^{2} u e^{-u^2} du = (1/2)(1 - e^{-4})
提示：也可直接凑微分：∫ u e^{-u^2} du = -1/2 e^{-u^2} + C。
步骤 5/5
目标：求和得结果
将两项相加：tan(1/2) + (1/2)(1 - e^{-4})。
公式：∫_{1}^{4} f(x-2) dx = (1/2)(1 - e^{-4}) + tan(1/2)
提示：最终结果无需化简。
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