kaoyan1basic 高等数学 第63题
📝 题目
### 第63题 设 $f(x)$ 是定义于 $x \geqslant 1$ 的正值连续函数，则 $$ F(x)=\int_{1}^{x}\left[\left(\frac{2}{x}+\ln x\right)-\left(\frac{2}{t}+\ln t\right)\right] f(t) \mathrm{d} t(x \geqslant 1) $$ 的极小值点是 $x=$ $\_\_\_\_$ ． 答题 区 □
💡 答案解析
**答案**：$1$ **解析**： 步骤1：将$F(x)$改写为$\displaystyle F(x)=\left(\frac{2}{x}+\ln x\right)\int_1^x f(t)dt - \int_1^x \left(\frac{2}{t}+\ln t\right)f(t)dt$。 步骤2：求导得$\displaystyle F'(x)=\left(-\frac{2}{x^2}+\frac{1}{x}\right)\int_1^x f(t)dt + \left(\frac{2}{x}+\ln x\right)f(x) - \left(\frac{2}{x}+\ln x\right)f(x) = \left(-\frac{2}{x^2}+\frac{1}{x}\right)\int_1^x f(t)dt$。 步骤3：令$F'(x)=0$，因$f(t)>0$，$\int_1^x f(t)dt>0$（$x>1$），故$\displaystyle -\frac{2}{x^2}+\frac{1}{x}=0$，解得$x=2$。 步骤4：当$x<2$时$F'(x)<0$，$x>2$时$F'(x)>0$，故$x=2$为极小值点。 **难度**：★★☆☆☆