kaoyan1basic 高等数学 第64题
📝 题目
### 第64题 定积分 $\displaystyle I=\int_{0}^{\pi} \frac{x|\sin x \cos x|}{1+\cos ^{2} x} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{\pi}{2}\ln 2$ **解析**： 步骤1：利用对称性，$\displaystyle I=\int_0^\pi \frac{x|\sin x\cos x|}{1+\cos^2 x}dx$，令$x=\pi-t$，得$\displaystyle I=\int_0^\pi \frac{(\pi-t)|\sin t\cos t|}{1+\cos^2 t}dt$。 步骤2：两式相加得$\displaystyle 2I=\pi\int_0^\pi \frac{|\sin x\cos x|}{1+\cos^2 x}dx$，故$\displaystyle I=\frac{\pi}{2}\int_0^\pi \frac{|\sin x\cos x|}{1+\cos^2 x}dx$。 步骤3：在$[0,\pi]$上，$\sin x\cos x$在$[0,\pi/2]$非负，在$[\pi/2,\pi]$非正，故$|\sin x\cos x|=\sin x|\cos x|$。由对称性，$\displaystyle \int_0^\pi \frac{|\sin x\cos x|}{1+\cos^2 x}dx=2\int_0^{\pi/2}\frac{\sin x\cos x}{1+\cos^2 x}dx$。 步骤4：令$u=\cos x$，$du=-\sin x dx$，积分变为$\displaystyle 2\int_1^0 \frac{-u}{1+u^2}du=2\int_0^1\frac{u}{1+u^2}du=\ln(1+u^2)\big|_0^1=\ln2$。 步骤5：因此$\displaystyle I=\frac{\pi}{2}\ln2$。 **难度**：★★★☆☆