kaoyan1basic 高等数学 第65题
📝 题目
### 第65题 设 $f(x)=\max \left\{1, x^{2}\right\}$ ，则 $\int_{1}^{x} f(t) \mathrm{d} t=$ $\_\_\_\_$ ． □
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \begin{cases} x-1, & 1\le x\le 1 \\ \frac{x^3}{3}+\frac{2}{3}, & x>1 \\ \frac{1}{3}-x, & x<-1 \end{cases}$ **解析**： 步骤1：$f(x)=\max\{1,x^2\}=\begin{cases} x^2, & |x|\ge 1 \\ 1, & |x|<1 \end{cases}$。 步骤2：积分下限为1，需分情况。当$x\ge1$时，$\displaystyle \int_1^x f(t)dt=\int_1^x t^2 dt=\frac{x^3}{3}-\frac{1}{3}$。 步骤3：当$x<1$时，$\int_1^x f(t)dt=-\int_x^1 f(t)dt$。若$-1\le x<1$，则$\int_x^1 f(t)dt=\int_x^1 1 dt=1-x$，故原积分$=x-1$。 步骤4：若$x<-1$，则$\displaystyle \int_x^1 f(t)dt=\int_x^{-1} t^2 dt+\int_{-1}^1 1 dt=\left(\frac{-1}{3}-\frac{x^3}{3}\right)+2=\frac{5}{3}-\frac{x^3}{3}$，故原积分$\displaystyle =-\left(\frac{5}{3}-\frac{x^3}{3}\right)=\frac{x^3}{3}-\frac{5}{3}$。 **难度**：★★☆☆☆