kaoyan1basic 高等数学 第66题
📝 题目
### 第66题 在曲线 $y=x^{2}(0 \leqslant x \leqslant 1)$ 上取一点 $\left(t, t^{2}\right)(0
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{1}{2}$ **解析**： 步骤1：$\displaystyle A_1=\int_0^t (t^2-x^2)dx = t^2\cdot t - \frac{t^3}{3} = \frac{2}{3}t^3$。 步骤2：$\displaystyle A_2=\int_t^1 (x^2-t^2)dx = \left(\frac{1}{3}-\frac{t^3}{3}\right) - t^2(1-t) = \frac{1}{3}-\frac{t^3}{3}-t^2+t^3 = \frac{1}{3}-t^2+\frac{2}{3}t^3$。 步骤3：$\displaystyle A=A_1+A_2=\frac{2}{3}t^3+\frac{1}{3}-t^2+\frac{2}{3}t^3 = \frac{4}{3}t^3 - t^2 + \frac{1}{3}$。 步骤4：求导$A'(t)=4t^2-2t=2t(2t-1)$，令$A'(t)=0$得$t=0$（舍）或$\displaystyle t=\frac{1}{2}$。 步骤5：$A''(t)=8t-2$，在$\displaystyle t=\frac{1}{2}$处$A''=2>0$，故为极小值点。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：计算A1的面积
A1是由曲线y=x^2、直线y=t^2和x=0围成的区域，在x从0到t上，曲线y=x^2在直线y=t^2下方，因此A1 = ∫_0^t (t^2 - x^2) dx。
公式：A1 = ∫_0^t (t^2 - x^2) dx = t^2 * t - (1/3)t^3 = (2/3)t^3
提示：注意积分上下限和被积函数的选择，确保面积非负。
步骤 2/5
目标：计算A2的面积
A2是由曲线y=x^2、直线y=t^2和x=1围成的区域，在x从t到1上，曲线y=x^2在直线y=t^2上方，因此A2 = ∫_t^1 (x^2 - t^2) dx。
公式：A2 = ∫_t^1 (x^2 - t^2) dx = (1/3 - t^3/3) - t^2(1-t) = 1/3 - t^2 + (2/3)t^3
提示：注意积分上下限，以及被积函数为x^2 - t^2。
步骤 3/5
目标：求A = A1 + A2的表达式
将A1和A2相加，得到A = (2/3)t^3 + (1/3 - t^2 + (2/3)t^3) = (4/3)t^3 - t^2 + 1/3。
公式：A = (4/3)t^3 - t^2 + 1/3
提示：合并同类项时注意系数。
步骤 4/5
目标：求导数并找到驻点
对A关于t求导：A'(t) = 4t^2 - 2t = 2t(2t-1)。令导数为0，得t=0或t=1/2。由于0
公式：A'(t) = 4t^2 - 2t = 2t(2t-1)
提示：注意定义域，t=0不在开区间内。
步骤 5/5
目标：判断极值点
求二阶导数：A''(t) = 8t - 2。代入t=1/2，得A''(1/2)=2>0，故t=1/2为极小值点，即最小值点。
公式：A''(t) = 8t - 2
提示：二阶导数大于0为极小值。
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