kaoyan1basic 高等数学 第67题
📝 题目
### 第67题 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x \sqrt{2 x^{2}-1}}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{\pi}{4}$ **解析**： 步骤1：令$\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{2}}\sec t$，则$\displaystyle dx=\frac{1}{\sqrt{2}}\sec t\tan t dt$，$x=1$时$t=0$，$x\to+\infty$时$\displaystyle t\to\frac{\pi}{2}$。 步骤2：$\sqrt{2x^2-1}=\sqrt{\sec^2 t-1}=\tan t$。 步骤3：原积分$\displaystyle =\int_0^{\pi/2}\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}\sec t\tan t}{\frac{1}{\sqrt{2}}\sec t\cdot \tan t}dt=\int_0^{\pi/2}\frac{1}{\sqrt{2}}dt=\frac{\pi}{2\sqrt{2}}$。 （注：此处计算有误，重新计算） 步骤3（修正）：原积分$\displaystyle =\int_0^{\pi/2}\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}\sec t\tan t}{\frac{1}{\sqrt{2}}\sec t\cdot \tan t}dt=\int_0^{\pi/2}1 dt=\frac{\pi}{2}$。 步骤4：再检查：分母$\displaystyle x\sqrt{2x^2-1}=\frac{1}{\sqrt{2}}\sec t\cdot \tan t$，分子$\displaystyle dx=\frac{1}{\sqrt{2}}\sec t\tan t dt$，比值为1，故积分$\displaystyle =\frac{\pi}{2}$。 **难度**：★★☆☆☆