kaoyan1basic 高等数学 第68题
📝 题目
### 第68题 I=$\displaystyle \int_{1}^{+\infty}\left[\frac{2 x^{2}+b x+a}{x(2 x+a)}-1\right] \mathrm{d} x=1$ ，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ，$b=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$a=2$，$b=2$ **解析**： 步骤1：被积函数化简：$\displaystyle \frac{2x^2+bx+a}{x(2x+a)}-1=\frac{2x^2+bx+a - x(2x+a)}{x(2x+a)}=\frac{2x^2+bx+a-2x^2-ax}{x(2x+a)}=\frac{(b-a)x+a}{x(2x+a)}$。 步骤2：为使无穷积分收敛，需分子次数低于分母，即$b-a=0$，得$b=a$。此时被积函数为$\displaystyle \frac{a}{x(2x+a)}$。 步骤3：积分$\displaystyle I=\int_1^{+\infty}\frac{a}{x(2x+a)}dx = \int_1^{+\infty}\left(\frac{1}{x}-\frac{2}{2x+a}\right)dx = \left[\ln\frac{x}{2x+a}\right]_1^{+\infty}$。 步骤4：计算极限：$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\ln\frac{x}{2x+a}=\ln\frac{1}{2}$，下限代入得$\displaystyle \ln\frac{1}{2+a}$，故$\displaystyle I=\ln\frac{1}{2}-\ln\frac{1}{2+a}=\ln\frac{2+a}{2}=1$。 步骤5：解得$\displaystyle \frac{2+a}{2}=e$，即$a=2e-2$，$b=2e-2$。 **难度**：★★★☆☆