kaoyan1basic 高等数学 第269题
📝 题目
## 第269题 (高等数学 - 选择题) 累次积分 $I=\int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{y}^{1} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x$ 等于 （A）$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3}+\frac{1}{3} \ln (\sqrt{2}+1)$ ． （B）$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3}+\frac{1}{3} \ln (\sqrt{2}-1)$ ． （C）$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{6}+\frac{1}{6} \ln (\sqrt{2}+1)$ ． （D）$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{6}+\frac{1}{6} \ln (\sqrt{2}-1)$ ．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：积分区域$0 \le y \le 1$，$y \le x \le 1$，交换积分次序得$0 \le x \le 1$，$0 \le y \le x$。 步骤2： $$ I = \int_0^1 dx \int_0^x \sqrt{x^2 + y^2} \, dy. $$ 步骤3：令$y = x \tan t$，则$dy = x \sec^2 t dt$，$y$从$0$到$x$对应$t$从$0$到$\displaystyle \frac{\pi}{4}$，$\sqrt{x^2 + y^2} = x \sec t$。 步骤4： $$ I = \int_0^1 dx \int_0^{\pi/4} x \sec t \cdot x \sec^2 t \, dt = \int_0^1 x^2 dx \int_0^{\pi/4} \sec^3 t \, dt. $$ 步骤5： $$ \int_0^{\pi/4} \sec^3 t \, dt = \frac{1}{2} \left[ \sec t \tan t + \ln |\sec t + \tan t| \right]_0^{\pi/4} = \frac{1}{2} (\sqrt{2} + \ln(\sqrt{2}+1)). $$ 步骤6： $$ I = \int_0^1 x^2 dx \cdot \frac{1}{2} (\sqrt{2} + \ln(\sqrt{2}+1)) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} (\sqrt{2} + \ln(\sqrt{2}+1)) = \frac{\sqrt{2}}{6} + \frac{1}{6} \ln(\sqrt{2}+1). $$ **难度**：★★★☆☆