kaoyan1basic 高等数学 第270题
📝 题目
## 第270题 (高等数学 - 选择题) 设 $\displaystyle I_{1}=\iint_{D} \frac{x+y}{4} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y, I_{2}=\iint_{D} \sqrt{\frac{x+y}{4}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y, I_{3}=\iint_{D} \sqrt[3]{\frac{x+y}{4}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 由不等式 $(x-1)^{2}+(y-1)^{2} \leqslant 2$ 所确定，则 （A）$I_{2}
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：在区域$D$上，$(x-1)^2 + (y-1)^2 \le 2$，即圆域，圆心$(1,1)$，半径$\sqrt{2}$。 步骤2：令$u = x-1$，$v = y-1$，则$x+y = u+v+2$，区域变为$u^2+v^2 \le 2$。 步骤3：在$D$上，$x+y$的取值范围：最小值为$0$（点$(-1,-1)$），最大值为$4$（点$(1+\sqrt{2},1+\sqrt{2})$），但注意圆域内$u+v$的范围为$[-2,2]$，故$x+y \in [0,4]$。 步骤4：在$[0,4]$上，比较函数$\displaystyle f(t) = \frac{t}{4}$，$\displaystyle g(t) = \sqrt{\frac{t}{4}}$，$\displaystyle h(t) = \sqrt[3]{\frac{t}{4}}$。当$t \in (0,4)$时，$\displaystyle \frac{t}{4} < \sqrt[3]{\frac{t}{4}} < \sqrt{\frac{t}{4}}$（因为$t/4 < 1$时，幂次越小值越大），故$I_1 < I_3 < I_2$。 **难度**：★★★☆☆