kaoyan1basic 高等数学 第271题
📝 题目
## 第271题 (高等数学 - 选择题) 设平面域 $D$ 由 $\displaystyle x+y=\frac{1}{2}, x+y=1$ 及两条坐标轴围成，$I_{1}=\iint_{D} \ln (x+y)^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ， $I_{2}=\iint_{D}(x+y)^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y, I_{3}=\iint_{D} \sin (x+y)^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，则 （A）$I_{1}
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：区域$D$中，$\displaystyle x+y \in [\frac{1}{2}, 1]$，令$t = x+y$，则$\displaystyle t \in [\frac{1}{2}, 1]$。 步骤2：在$\displaystyle [\frac{1}{2}, 1]$上，$\displaystyle t^3 \in [\frac{1}{8}, 1]$，$\displaystyle \sin(t^3) \in [\sin\frac{1}{8}, \sin 1]$，$\ln(t^3) = 3\ln t \le 0$。 步骤3：比较大小：$\ln(t^3) < 0 < \sin(t^3) < t^3$（因为$t^3 \le 1$时$\sin t^3 < t^3$），故$I_1 < I_3 < I_2$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：确定积分区域中x+y的取值范围
区域D由直线x+y=1/2, x+y=1及坐标轴围成，因此x+y的取值范围为[1/2, 1]。
提示：注意边界条件
步骤 2/4
目标：分析被积函数在区间上的性质
令t=x+y∈[1/2,1]。则t^3∈[1/8,1]；sin(t^3)∈[sin(1/8), sin1]；ln(t^3)=3ln t≤0。
公式：ln(t^3)=3ln t
提示：ln t在(0,1]上非正
步骤 3/4
目标：比较被积函数的大小
在[1/2,1]上，ln(t^3)≤0，而sin(t^3)>0（因为t^3>0），且sin(t^3)0时sin x
公式：sin x < x (x>0)
提示：利用常见不等式
步骤 4/4
目标：由被积函数大小推出积分大小
由于在区域D上被积函数满足ln(x+y)^3 < sin(x+y)^3 < (x+y)^3，且区域面积相同，因此积分I1
提示：积分保序性
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