kaoyan1basic 高等数学 第272题
📝 题目
## 第272题 (高等数学 - 选择题) 设积分区域 $$ $\begin{gathered}$ D_{1}=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right\} ; D_{2}=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 2\right\} \\ D_{3}=\left\{(x, y) \left\lvert\, \frac{1}{2} x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right.\right\} ; D_{4}=\left\{(x, y) \left\lvert\, x^{2}+\frac{1}{2} y^{2} \leqslant 1\right.\right\} \end{gathered} $$ 记 $\displaystyle I_{i}=\iint_{D_{i}}\left[1-\left(x^{2}+\frac{1}{2} y^{2}\right)\right] \mathrm{d} \sigma(i=1,2,3,4)$ ，则 $\max \left\{I_{1}, I_{2}, I_{3}, I_{4}\right\}=$ （A）$I_{1}$ ． （B）$I_{2}$ ． （C）$I_{3}$ ． （D）$I_{4}$ ． 答题 区
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：被积函数$\displaystyle f(x,y) = 1 - (x^2 + \frac{1}{2}y^2)$，在区域$D_i$上积分，$I_i$最大意味着被积函数在$D_i$上正值部分尽可能多。 步骤2：$f(x,y) \ge 0$的区域为$\displaystyle x^2 + \frac{1}{2}y^2 \le 1$，即椭圆域$D_3$（注意$D_3$定义为$\displaystyle \frac{1}{2}x^2 + y^2 \le 1$，但被积函数中的椭圆是$\displaystyle x^2 + \frac{1}{2}y^2 \le 1$，两者不同）。 步骤3：$D_3$是椭圆$\displaystyle \frac{1}{2}x^2 + y^2 \le 1$，而$f(x,y) \ge 0$的区域是椭圆$\displaystyle x^2 + \frac{1}{2}y^2 \le 1$，两者形状不同。比较四个区域：$D_1$是单位圆，$D_2$是半径$\sqrt{2}$的圆，$D_3$和$D_4$是椭圆。 步骤4：由于$f(x,y)$在原点取最大值1，且$D_3$是包含原点且与$f(x,y)$正区域最匹配的（因为$D_3$的边界$\displaystyle \frac{1}{2}x^2 + y^2 = 1$与$f(x,y)=0$的边界$\displaystyle x^2 + \frac{1}{2}y^2 = 1$关于直线$y=x$对称，但$D_3$更“扁”，而$f$正区域更“瘦”，实际计算可知$I_3$最大）。 **难度**：★★★☆☆