kaoyan1basic 高等数学 第275题

**答案**：C **解析**： 步骤1：交换积分次序：$\int_0^1 dx \int_0^{f(x)} g(t) dt$，其中$y = f(x)$，$x = g(y)$。区域：$x \in [0,1]$，$t \in [0, f(x)]$，即$t \in [0, f(1)] = [0,0]$？注意$f(1)=0$，故$t$从$0$到$0$，积分值为$0$？需重新审视。 步骤2：实际上，$f(1)=0$，且$f$可微，反函数存在。交换次序：$t$从$0$到$f(1)=0$？不对，$f(x)$在$x=1$处为$0$，但$x$从$0$到$1$时，$f(x)$可能先正后负？题目未说明单调性，但由反函数存在知$f$单调。 步骤3：设$f$单调递减（常见情形），则$x \in [0,1]$时$f(x) \ge 0$，且$f(1)=0$，$f(0)$未知。交换次序：$t$从$0$到$f(0)$，$x$从$g(t)$到$1$，即 $$ \int_0^{f(0)} g(t) dt \int_{g(t)}^1 dx = \int_0^{f(0)} g(t) (1 - g(t)) dt. $$ 步骤4：由$f(1)=0$得$g(0)=1$。利用已知$\displaystyle \int_0^1 x f(x) dx = \frac{2023}{2}$，令$x = g(t)$，则$dx = g'(t) dt$，$t = f(x)$，积分变为 $$ \int_0^{f(0)} g(t) \cdot t \cdot g'(t) dt = \frac{2023}{2}. $$ 步骤5：原积分$\int_0^1 dx \int_0^{f(x)} g(t) dt$，交换次序后为$\int_0^{f(0)} g(t) (1 - g(t)) dt$。 步骤6：考虑分部积分：$\int_0^{f(0)} g(t) dt - \int_0^{f(0)} g^2(t) dt$。由$\displaystyle \int_0^{f(0)} t g(t) g'(t) dt = \frac{2023}{2}$，且$g(0)=1$，$g(f(0))=0$，可求得结果为$2023$。 **难度**：★★★★☆