kaoyan1basic 高等数学 第576题
📝 题目
## 第576题 (高等数学 - 填空题) 在级数 （1）$\displaystyle \left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)+\cdots$ ， （2） $\displaystyle 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}+\cdots$ ， （3） $\displaystyle 2-\frac{3}{2}+\frac{3}{2}-\frac{4}{3}+\frac{4}{3}-\frac{5}{4}+\cdots+\frac{n+1}{n}-\frac{n+2}{n+1}+\cdots$ ， （4）$\displaystyle \left(2-\frac{3}{2}\right)+\left(\frac{3}{2}-\frac{4}{3}\right)+\left(\frac{4}{3}-\frac{5}{4}\right)+\cdots+\left(\frac{n+1}{n}-\frac{n+2}{n+1}\right)+\cdots$ 中，发散级数的序号是 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：2, 3 **解析**： 步骤1：级数(1)通项$\displaystyle u_n = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$，部分和$\displaystyle S_n = 1 - \frac{1}{n+1} \to 1$，收敛。 步骤2：级数(2)通项$\displaystyle v_n = (-1)^{n-1} \left( \frac{1}{\lceil n/2 \rceil} - \frac{1}{\lceil n/2 \rceil + 1} \right)$？实际为交错形式，但括号未加，即$\displaystyle 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \cdots$，部分和$\displaystyle S_{2n} = 1 - \frac{1}{n+1} \to 1$，$S_{2n+1} = 1$，但注意级数不满足通项趋于0？通项$\displaystyle \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \to 0$，但交错后部分和振荡？实际上，部分和$S_n$：$S_1=1$，$S_2=1/2$，$S_3=1$，$S_4=2/3$，...，极限不存在，发散。 步骤3：级数(3)通项$\displaystyle \frac{n+1}{n} - \frac{n+2}{n+1} = \frac{1}{n(n+1)}$，但未加括号，即$\displaystyle 2 - \frac{3}{2} + \frac{3}{2} - \frac{4}{3} + \cdots$，类似(2)，部分和$\displaystyle S_{2n} = 2 - \frac{n+2}{n+1} \to 1$，$S_{2n+1} = 2$，发散。 步骤4：级数(4)加括号，通项$\displaystyle \frac{1}{n(n+1)}$，部分和$\displaystyle S_n = 1 - \frac{1}{n+1} \to 1$，收敛。 故发散级数为(2)和(3)。 **难度**：★★☆☆☆