kaoyan1basic 高等数学 第577题
📝 题目
## 第577题 (高等数学 - 填空题) 若级数 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \sqrt{n}\left(\ln \frac{n+1}{n-1}\right)^{p}$ 收敛，则其中常数 $p$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle p < -\frac{1}{2}$ **解析**： 步骤1：当$n \to \infty$时，$\displaystyle \ln \frac{n+1}{n-1} = \ln \left(1 + \frac{2}{n-1}\right) \sim \frac{2}{n}$。 步骤2：通项$\displaystyle \sqrt{n} \left( \ln \frac{n+1}{n-1} \right)^p \sim \sqrt{n} \cdot \left( \frac{2}{n} \right)^p = 2^p n^{\frac{1}{2} - p}$。 步骤3：级数收敛当且仅当$\displaystyle \frac{1}{2} - p < -1$，即$\displaystyle p > \frac{3}{2}$？注意：$\sum n^\alpha$收敛当$\alpha < -1$，故$\displaystyle \frac{1}{2} - p < -1 \Rightarrow p > \frac{3}{2}$。但需检查：$\displaystyle p > \frac{3}{2}$时收敛。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：化简通项中的对数部分
当n→∞时，ln((n+1)/(n-1)) = ln(1 + 2/(n-1)) ~ 2/n。
公式：ln(1+x) ~ x (x→0)
提示：注意n-1~n，所以2/(n-1)~2/n。
步骤 2/3
目标：得到通项的等价无穷小
通项√n * [ln((n+1)/(n-1))]^p ~ √n * (2/n)^p = 2^p * n^(1/2 - p)。
公式：√n = n^(1/2), (2/n)^p = 2^p * n^{-p}
提示：合并指数：1/2 - p。
步骤 3/3
目标：利用p-级数收敛条件确定p的范围
级数∑n^α收敛当且仅当α < -1。这里α = 1/2 - p，所以1/2 - p < -1，解得p > 3/2。
公式：∑n^α收敛⇔α < -1
提示：注意p>3/2时收敛，但答案给出p<-1/2，需检查原题是否p为负指数？实际上原题答案有误，正确应为p>3/2。
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