kaoyan1basic 高等数学 第578题
📝 题目
## 第578题 (高等数学 - 填空题) 设有正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 满足 $$ $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\ln \frac{1}{a_{n}}}{\ln n}=q \neq 1$ $$ 则该级数收敛的充要条件是 $q$ 满足 $\_\_\_\_$ ． 579已知幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 在 $x=1$ 处条件收敛，则幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}(x-1)^{n}$ 的收敛半径为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$q > 1$ **解析**： 步骤1：由$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{\ln(1/a_n)}{\ln n} = q$，得$\ln(1/a_n) \sim q \ln n$，即$a_n \sim n^{-q}$。 步骤2：正项级数$\sum a_n$收敛当且仅当$q > 1$（与$p$级数比较）。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：将极限条件转化为a_n的渐近表达式
由极限定义，当n→∞时，ln(1/a_n) ~ q ln n，即1/a_n ~ n^q，因此a_n ~ n^{-q}。
公式：a_n \sim n^{-q}
提示：注意极限非1，故可进行等价无穷小替换。
步骤 2/2
目标：利用p级数判别法判断收敛性
正项级数∑a_n与p级数∑n^{-q}比较，当q>1时收敛，q<1时发散。由于极限q≠1，故收敛充要条件为q>1。
公式：∑n^{-q}收敛当且仅当q>1
提示：p级数收敛条件：p>1。
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