kaoyan1basic 高等数学 第580题
📝 题目
## 第580题 (高等数学 - 填空题) 设 $a_{n}>0(n=1,2, \cdots)$ ，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散，$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} a_{n}$ 收敛，则幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} 2^{n} x^{2 n}$ 的收敛域为 $\_\_\_\_$ ． $Q^{\circ}$
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \left( -\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$ **解析**： 步骤1：幂级数$\sum a_n x^n$在$x=1$处条件收敛，故收敛半径$R=1$。 步骤2：则$\sum a_n (x-1)^n$的收敛半径也为$1$，中心在$x=1$，收敛区间$(0,2)$。 步骤3：$\sum a_n 2^n x^{2n}$，令$t = 2x^2$，则级数为$\sum a_n t^n$，收敛半径为$1$，故$|t| < 1$即$|2x^2| < 1$，得$\displaystyle |x| < \frac{1}{\sqrt{2}}$。 步骤4：端点处：$\displaystyle x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$时，$t=1$，原级数$\sum a_n$条件收敛？但已知$\sum a_n$发散（因为条件收敛于$x=1$处，但这里$a_n$是原系数，$\sum a_n$本身可能发散），需判断：由条件，$\sum a_n$在$x=1$条件收敛，故$\sum a_n$收敛？不，$\sum a_n x^n$在$x=1$条件收敛意味着$\sum a_n$条件收敛，但$\sum a_n$本身是数项级数，条件收敛。故$t=1$时级数条件收敛，但这里$t=1$对应$x=\pm 1/\sqrt{2}$，需看$\sum a_n 2^n x^{2n} = \sum a_n$，条件收敛，故端点收敛。但题目中$\sum a_n$发散？矛盾。重新读题：$a_n>0$，$\sum a_n$发散，$\sum (-1)^{n-1} a_n$收敛，故$\sum a_n$发散，但$\sum (-1)^{n-1} a_n$条件收敛。则幂级数$\sum a_n x^n$的收敛半径为$1$，在$x=-1$处条件收敛？实际上，由$\sum (-1)^{n-1} a_n$收敛知$x=-1$处收敛，而$\sum a_n$发散知$x=1$处发散，故收敛半径$R=1$。 步骤5：对于$\sum a_n 2^n x^{2n}$，令$t=2x^2$，则$|t|<1$时收敛，即$|x| < 1/\sqrt{2}$。端点：$x=1/\sqrt{2}$时，$t=1$，级数为$\sum a_n$，发散；$x=-1/\sqrt{2}$时，$t=1$，同样发散。故收敛域为$(-1/\sqrt{2}, 1/\sqrt{2})$。 **难度**：★★★☆☆