kaoyan1basic 高等数学 第581题
📝 题目
## 第581题 (高等数学 - 填空题) 已知幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}\left(x-\frac{1}{2}\right)^{n}$ 在 $x=2$ 处发散，在 $x=-1$ 处收敛，则幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}(x-1)^{n}$ 的收敛域是 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$[0,2)$ **解析**： 步骤1：由幂级数$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n\left(x-\frac12\right)^n$在$x=2$处发散，得收敛半径$\displaystyle R \le \frac32$；在$x=-1$处收敛，得$\displaystyle R \ge \frac32$，故$\displaystyle R=\frac32$。 步骤2：对于$\sum_{n=1}^{\infty} a_n(x-1)^n$，中心为$x=1$，收敛半径仍为$\displaystyle \frac32$，收敛区间为$\displaystyle 1-\frac32 < x < 1+\frac32$，即$\displaystyle -\frac12 < x < \frac52$。 步骤3：在端点$\displaystyle x=-\frac12$处，对应原级数$x=0$（中心$\displaystyle \frac12$），原级数在$x=0$处收敛（因$x=-1$收敛，$0$在区间内）；在端点$\displaystyle x=\frac52$处，对应原级数$x=2$，发散。故收敛域为$\displaystyle [-\frac12, \frac52)$。 **难度**：★★★☆☆