kaoyan1basic 高等数学 第582题
📝 题目
## 第582题 (高等数学 - 填空题) 幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n\left[4^{n}+(-3)^{n}\right]}$ 的收敛半径 $R=$ 583幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{2^{n}}\right) x^{n}$ 的收敛域为 $\_\_\_\_$ ，和函数 $S(x)=$ $\_\_\_\_$ ． $\_\_\_\_$ ，收敛域为 $\_\_\_\_$ ． ◯纠错笔记
💡 答案解析
**答案**：$R=4$；收敛域为$[-4,4)$ **解析**： 步骤1：求收敛半径。$\displaystyle a_n=\frac{1}{n[4^n+(-3)^n]}$，由$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1}\cdot\frac{4^n+(-3)^n}{4^{n+1}+(-3)^{n+1}}=\frac14$，故$R=4$。 步骤2：端点处：$x=4$时，级数为$\displaystyle \sum\frac{4^n}{n[4^n+(-3)^n]}=\sum\frac{1}{n[1+(-3/4)^n]}$，通项~$\displaystyle \frac1n$，发散；$x=-4$时，级数为$\displaystyle \sum\frac{(-4)^n}{n[4^n+(-3)^n]}=\sum\frac{(-1)^n}{n[1+(-3/4)^n]}$，由莱布尼茨判别法知收敛。故收敛域为$[-4,4)$。 **难度**：★★★☆☆