kaoyan1basic 高等数学 第585题
📝 题目
## 第585题 (高等数学 - 填空题) 幂级数 $$ 1-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{2 \cdot 4}-\frac{x^{6}}{2 \cdot 4 \cdot 6}+\cdots+(-1)^{n} \frac{x^{2 n}}{(2 n)!!}+\cdots $$ 的和函数 $S(x)=$ $\_\_\_\_$ ． 答题 区
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle S(x)=e^{-\frac{x^2}{2}}$；$x\in(-\infty,+\infty)$ **解析**： 步骤1：注意到$(2n)!!=2\cdot4\cdot6\cdots(2n)=2^n n!$，故级数为$\displaystyle \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n}}{2^n n!}=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-x^2/2)^n}{n!}=e^{-x^2/2}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：识别级数通项并化简
注意到双阶乘 (2n)!! = 2·4·6·...·(2n) = 2^n n!，因此级数通项为 (-1)^n x^(2n) / (2^n n!)。
公式：(2n)!! = 2^n n!
提示：双阶乘化简是本题关键，需记住公式。
步骤 2/3
目标：将级数写成指数函数形式
级数可写为 ∑_{n=0}^∞ (-1)^n x^(2n)/(2^n n!) = ∑_{n=0}^∞ [(-x^2/2)^n]/n!。
公式：∑_{n=0}^∞ a^n/n! = e^a
提示：指数函数的麦克劳林展开为 e^a = ∑ a^n/n!。
步骤 3/3
目标：得出和函数
根据指数函数展开，和函数 S(x) = e^{-x^2/2}，且收敛域为全体实数。
公式：S(x) = e^{-x^2/2}
提示：收敛域由指数函数确定，为 (-∞, +∞)。
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