kaoyan1basic 高等数学 第586题
📝 题目
## 第586题 (高等数学 - 填空题) 幂级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2 n+1}}{(2 n+1)!}$ 的和函数 $S(x)=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$S(x)=\sinh x$；$x\in(-\infty,+\infty)$ **解析**： 步骤1：$\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}=\sinh x$（双曲正弦定义）。 **难度**：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：识别幂级数为双曲正弦函数的泰勒展开式
观察幂级数 ∑_{n=0}^∞ x^{2n+1}/(2n+1)!，其形式与双曲正弦函数 sinh x 的泰勒展开式一致。双曲正弦的定义为 sinh x = (e^x - e^{-x})/2，其泰勒展开为 ∑_{n=0}^∞ x^{2n+1}/(2n+1)!。
公式：sinh x = ∑_{n=0}^∞ x^{2n+1}/(2n+1)!
提示：注意双曲正弦与正弦函数的区别：正弦函数展开有交错符号，而双曲正弦无交错符号。
步骤 2/2
目标：写出和函数
因此，该幂级数的和函数 S(x) = sinh x，且收敛域为全体实数 (-∞, +∞)。
公式：S(x) = sinh x
提示：双曲正弦函数是奇函数，定义域为 R。
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