kaoyan1basic 高等数学 第588题
📝 题目
## 第588题 (高等数学 - 填空题) $f(x)=$\ln \left(2+x-3 x^{2}\right)$ 在 $x=0$ 处的泰勒展开式为 $\_\_\_\_$ ．$ 答题区 ◯纠错笔记
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \ln 2 + \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n}\left(1+\frac{(-1)^n}{3^n}\right)x^n$，$\displaystyle |x|<\frac12$ **解析**： 步骤1：$f(x)=\ln(2+x-3x^2)=\ln[(1+x)(2-3x)]=\ln(1+x)+\ln(2-3x)$。 步骤2：$\displaystyle \ln(1+x)=\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}$，$|x|<1$；$\displaystyle \ln(2-3x)=\ln2+\ln\left(1-\frac{3x}{2}\right)=\ln2-\sum_{n=1}^\infty \frac{(3x/2)^n}{n}$，$\displaystyle |x|<\frac23$。 步骤3：合并得$\displaystyle f(x)=\ln2+\sum_{n=1}^\infty \left[(-1)^{n-1}\frac{1}{n}-\frac{3^n}{2^n n}\right]x^n$，收敛域取交集$\displaystyle |x|<\frac12$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分解对数函数
将 f(x)=ln(2+x-3x^2) 分解为 ln(1+x) + ln(2-3x)。
公式：ln(2+x-3x^2) = ln[(1+x)(2-3x)] = ln(1+x) + ln(2-3x)
提示：注意因式分解的正确性。
步骤 2/5
目标：展开 ln(1+x)
利用 ln(1+x) 的泰勒展开式：ln(1+x) = ∑_{n=1}^∞ (-1)^{n-1} x^n / n，收敛域 |x|<1。
公式：ln(1+x) = ∑_{n=1}^∞ (-1)^{n-1} x^n / n
提示：记住常用展开式。
步骤 3/5
目标：展开 ln(2-3x)
将 ln(2-3x) 变形为 ln2 + ln(1 - 3x/2)，然后展开 ln(1 - 3x/2) = -∑_{n=1}^∞ (3x/2)^n / n，收敛域 |x|<2/3。
公式：ln(2-3x) = ln2 + ln(1 - 3x/2) = ln2 - ∑_{n=1}^∞ (3^n x^n)/(2^n n)
提示：注意 ln(1-u) 的展开式符号。
步骤 4/5
目标：合并展开式
将两个展开式相加，合并同类项：f(x) = ln2 + ∑_{n=1}^∞ [(-1)^{n-1}/n - 3^n/(2^n n)] x^n。
公式：f(x) = ln2 + ∑_{n=1}^∞ [(-1)^{n-1}/n - 3^n/(2^n n)] x^n
提示：合并时注意系数。
步骤 5/5
目标：确定收敛域
两个展开式的收敛域分别为 |x|<1 和 |x|<2/3，取交集得 |x|<1/2。
公式：|x| < 1/2
提示：收敛域取较小的半径。
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