kaoyan1basic 高等数学 第589题
📝 题目
## 第589题 (高等数学 - 填空题) 设 $f(x)=x \arctan x-\ln \sqrt{1+x^{2}}$ ，则 $f(x)$ 的幂级数展开式是 $\_\_\_\_$ ． ## $(v)$
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💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{2n(2n-1)}x^{2n}$，$|x|<1$ **解析**： 步骤1：$\displaystyle f(x)=x\arctan x-\frac12\ln(1+x^2)$。 步骤2：$\displaystyle \arctan x=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}$，$|x|<1$，故$\displaystyle x\arctan x=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n+2}}{2n+1}$。 步骤3：$\displaystyle \ln(1+x^2)=\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}\frac{x^{2n}}{n}$，$|x|<1$，故$\displaystyle \frac12\ln(1+x^2)=\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}\frac{x^{2n}}{2n}$。 步骤4：相减得$\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n+2}}{2n+1}-\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}\frac{x^{2n}}{2n}$，令$m=n+1$，第一项化为$\displaystyle \sum_{m=1}^\infty (-1)^{m-1}\frac{x^{2m}}{2m-1}$，合并得$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n}\right)x^{2n}=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{2n(2n-1)}x^{2n}$。 **难度**：★★★☆☆