kaoyan1basic 高等数学 第590题
📝 题目
## 第590题 (高等数学 - 填空题) 设 $f(x)$ 是周期为 2 的周期函数且 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x, & 0 \leqslant x \leqslant 1 \\ 0, & 1
💡 答案解析
**答案**：$a_n=0$ **解析**： 步骤1：周期$T=2$，$\omega=\pi$，$\displaystyle a_n=\frac{2}{2}\int_0^2 f(x)\cos(n\pi x)dx=\int_0^1 x\cos(n\pi x)dx+\int_1^2 0\cdot\cos(n\pi x)dx$。 步骤2：计算$\displaystyle \int_0^1 x\cos(n\pi x)dx=\left[\frac{x\sin(n\pi x)}{n\pi}+\frac{\cos(n\pi x)}{n^2\pi^2}\right]_0^1=\frac{\cos(n\pi)}{n^2\pi^2}-\frac{1}{n^2\pi^2}=\frac{(-1)^n-1}{n^2\pi^2}$。 步骤3：当$n$为偶数时，$(-1)^n-1=0$；当$n$为奇数时，$(-1)^n-1=-2$，故$\displaystyle a_n=\begin{cases}0, & n\text{为偶数}\\ -\frac{2}{n^2\pi^2}, & n\text{为奇数}\end{cases}$。但题目要求$n\ge1$时，一般写为$\displaystyle a_n=\frac{(-1)^n-1}{n^2\pi^2}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：写出傅里叶系数公式
周期T=2，角频率ω=π，傅里叶系数a_n = (2/T) ∫_{0}^{T} f(x) cos(nπx) dx = ∫_{0}^{2} f(x) cos(nπx) dx。由于f(x)在[0,1]上为x，在(1,2)上为0，所以a_n = ∫_{0}^{1} x cos(nπx) dx + ∫_{1}^{2} 0·cos(nπx) dx = ∫_{0}^{1} x cos(nπx) dx。
公式：a_n = ∫_{0}^{1} x cos(nπx) dx
提示：注意周期为2时，积分区间长度为2，系数公式中2/T=1。
步骤 2/4
目标：计算积分∫ x cos(nπx) dx
使用分部积分法：∫ x cos(nπx) dx = (x sin(nπx))/(nπ) + (cos(nπx))/(n^2π^2) + C。
公式：∫ x cos(nπx) dx = (x sin(nπx))/(nπ) + (cos(nπx))/(n^2π^2) + C
提示：分部积分时，设u=x，dv=cos(nπx)dx。
步骤 3/4
目标：代入上下限计算定积分
∫_{0}^{1} x cos(nπx) dx = [ (x sin(nπx))/(nπ) + (cos(nπx))/(n^2π^2) ]_{0}^{1} = (1·sin(nπ))/(nπ) + (cos(nπ))/(n^2π^2) - (0 + 1/(n^2π^2)) = 0 + (cos(nπ))/(n^2π^2) - 1/(n^2π^2) = (cos(nπ)-1)/(n^2π^2)。
公式：∫_{0}^{1} x cos(nπx) dx = (cos(nπ)-1)/(n^2π^2)
提示：sin(nπ)=0，cos(nπ)=(-1)^n。
步骤 4/4
目标：化简结果
cos(nπ)=(-1)^n，所以a_n = ((-1)^n - 1)/(n^2π^2)。当n为偶数时，(-1)^n=1，a_n=0；当n为奇数时，(-1)^n=-1，a_n=(-2)/(n^2π^2)。
公式：a_n = ((-1)^n - 1)/(n^2π^2)
提示：注意n≥1。
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