kaoyan1basic 高等数学 第591题

教材习题

📝 题目

## 第591题 (线性代数 - 填空题) 设 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c} \neq \mathbf{0}$ ，若 $\boldsymbol{a}=\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}, \boldsymbol{b}=\boldsymbol{c} \times \boldsymbol{a}, \boldsymbol{c}=\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}$ ，则 $|\boldsymbol{a}|+|\boldsymbol{b}|+|\boldsymbol{c}|=$ $\_\_\_\_$ ．

💡 答案解析

**答案**：$3$ **解析**： 步骤1：由$\boldsymbol{a}=\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c}$，得$|\boldsymbol{a}|=|\boldsymbol{b}||\boldsymbol{c}|\sin\theta$，且$\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b},\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{c}$。同理，$\boldsymbol{b}=\boldsymbol{c}\times\boldsymbol{a}$，$|\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{c}||\boldsymbol{a}|\sin\varphi$，且$\boldsymbol{b}\perp\boldsymbol{c},\boldsymbol{b}\perp\boldsymbol{a}$。 步骤2：由$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}$两两垂直（因每个向量垂直于另两个），故$\sin\theta=\sin\varphi=1$，且$|\boldsymbol{a}|=|\boldsymbol{b}||\boldsymbol{c}|$，$|\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{c}||\boldsymbol{a}|$，$|\boldsymbol{c}|=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|$。 步骤3：设$x=|\boldsymbol{a}|,y=|\boldsymbol{b}|,z=|\boldsymbol{c}|$，则$x=yz, y=zx, z=xy$，解得$x=y=z=1$（正数），故和为$3$。 **难度**：★★★☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/3
目标：利用叉积定义得到模长关系和垂直关系
由 a = b × c，得 |a| = |b||c| sinθ，且 a ⊥ b, a ⊥ c。同理，b = c × a 得 |b| = |c||a| sinφ，且 b ⊥ c, b ⊥ a；c = a × b 得 |c| = |a||b| sinψ，且 c ⊥ a, c ⊥ b。
公式：|a| = |b||c| sinθ, |b| = |c||a| sinφ, |c| = |a||b| sinψ
提示：注意叉积结果垂直于原两向量。
步骤 2/3
目标：推出向量两两垂直
由 a ⊥ b 且 a ⊥ c，b ⊥ c 且 b ⊥ a，c ⊥ a 且 c ⊥ b，可知 a, b, c 两两垂直，故 sinθ = sinφ = sinψ = 1。
公式：sinθ = sinφ = sinψ = 1
提示：垂直时夹角正弦为1。
步骤 3/3
目标：建立模长方程组并求解
设 x = |a|, y = |b|, z = |c|，则 x = yz, y = zx, z = xy。三式相乘得 xyz = (xyz)^2，故 xyz = 1（正数）。代入得 x = yz = 1/x，所以 x^2 = 1，x = 1。同理 y = 1, z = 1。因此 |a| + |b| + |c| = 3。
公式：x = yz, y = zx, z = xy
提示：注意模长非负，取正值。

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