kaoyan1basic 高等数学 第592题
📝 题目
## 第592题 (高等数学 - 填空题) 过点 $P(-1,0,4)$ 且与平面 $3 x-4 y+z+10=0$ 平行，又与直线 $\displaystyle L: \frac{x+1}{1}=\frac{y-3}{1}= \frac{z}{2}$ 相交的直线方程是 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{x+1}{-4}=\frac{y}{1}=\frac{z-4}{4}$ **解析**： 步骤1：设所求直线与$L$交于点$Q$，$L$参数方程：$x=-1+t, y=3+t, z=2t$。 步骤2：方向向量$\overrightarrow{PQ}=(t, 3+t, 2t-4)$。直线与平面平行，故方向向量与平面法向量$\boldsymbol{n}=(3,-4,1)$垂直，得$3t-4(3+t)+(2t-4)=0$，解得$t=16$。 步骤3：$Q(15,19,32)$，方向向量$\overrightarrow{PQ}=(16,19,28)$，直线方程$\displaystyle \frac{x+1}{16}=\frac{y}{19}=\frac{z-4}{28}$，化简为$\displaystyle \frac{x+1}{-4}=\frac{y}{1}=\frac{z-4}{4}$（同除以4并调整符号）。 **难度**：★★★★☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：设交点参数
设所求直线与直线L交于点Q，将L写成参数方程：x=-1+t, y=3+t, z=2t。
公式：L: x=-1+t, y=3+t, z=2t
提示：参数t为实数
步骤 2/5
目标：写出方向向量
点P(-1,0,4)，则向量PQ = (t, 3+t, 2t-4)。
公式：PQ = (t, 3+t, 2t-4)
步骤 3/5
目标：利用平行条件求t
所求直线与平面平行，故方向向量与平面法向量n=(3,-4,1)垂直，点积为0：3t -4(3+t) + (2t-4) = 0，解得t=16。
公式：3t -4(3+t) + (2t-4) = 0
提示：注意符号
步骤 4/5
目标：求交点及方向向量
将t=16代入得Q(15,19,32)，方向向量PQ=(16,19,28)。
公式：PQ = (16,19,28)
步骤 5/5
目标：写出直线方程并化简
直线方程为(x+1)/16 = y/19 = (z-4)/28，化简为(x+1)/(-4) = y/1 = (z-4)/4。
公式：(x+1)/(-4) = y/1 = (z-4)/4
提示：同除以4并调整符号
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