kaoyan1basic 高等数学 第593题
📝 题目
## 第593题 (高等数学 - 填空题) 直线 $L:\left\{\begin{array}{l}2 y+3 z-5=0 \\ x-2 y-z+7=0\end{array}\right.$ 在平面 $\Pi: x-y+3 z+8=0$ 上的投影方程为 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**：$\begin{cases} x-y+3z+8=0 \\ 2x+3y+5z-13=0 \end{cases}$ **解析**： 步骤1：直线$L$的方向向量$\boldsymbol{s}=\begin{vmatrix} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\ 0 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & -1 \end{vmatrix}=(4,3,-2)$。 步骤2：过$L$上一点，令$y=0$，由$2y+3z-5=0$得$\displaystyle z=\frac53$，代入$x-2y-z+7=0$得$\displaystyle x=\frac53-7=-\frac{16}{3}$，取点$\displaystyle (-\frac{16}{3},0,\frac53)$。 步骤3：投影平面由$L$的方向向量和平面法向量$\boldsymbol{n}=(1,-1,3)$决定，法向量$\boldsymbol{n}_1=\boldsymbol{s}\times\boldsymbol{n}=(11,-14,-7)$，投影平面方程：$\displaystyle 11(x+\frac{16}{3})-14(y-0)-7(z-\frac53)=0$，化简得$11x-14y-7z+37=0$。 步骤4：投影直线为投影平面与原平面的交线：$\begin{cases} x-y+3z+8=0 \\ 11x-14y-7z+37=0 \end{cases}$，化简第二式得$2x+3y+5z-13=0$（乘以适当倍数）。 **难度**：★★★★☆