kaoyan1basic 高等数学 第595题
📝 题目
## 第595题 (高等数学 - 填空题) 平面 $\Pi: x-2 y+2 z+9=0$ 与以点 $M_{0}(2,0,-1)$ 为球心的球面相切，则该球面的方程是 $\_\_\_\_$ ． 答题 区
💡 答案解析
**答案**：$(x-2)^2+y^2+(z+1)^2=9$ **解析**： 步骤1：球心$M_0(2,0,-1)$到平面$x-2y+2z+9=0$的距离$\displaystyle d=\frac{|2-0-2+9|}{\sqrt{1^2+(-2)^2+2^2}}=\frac{9}{3}=3$。 步骤2：球面与平面相切，故半径$R=d=3$，球面方程为$(x-2)^2+y^2+(z+1)^2=9$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：计算球心到平面的距离
球心M0(2,0,-1)到平面x-2y+2z+9=0的距离公式为d = |Ax0+By0+Cz0+D| / sqrt(A^2+B^2+C^2)，代入得d = |2 - 0 - 2 + 9| / sqrt(1+4+4) = 9/3 = 3。
公式：d = |Ax0+By0+Cz0+D| / sqrt(A^2+B^2+C^2)
提示：注意平面方程的一般形式，系数A、B、C分别为1、-2、2，常数项D=9。
步骤 2/2
目标：确定球面半径并写出方程
由于球面与平面相切，半径R等于距离d，即R=3。球面方程为(x-2)^2 + y^2 + (z+1)^2 = 9。
公式：(x-x0)^2 + (y-y0)^2 + (z-z0)^2 = R^2
提示：球心坐标为(2,0,-1)，注意符号。
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