kaoyan1basic 高等数学 第596题

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📝 题目

## 第596题 (高等数学 - 填空题) 设 $\Omega$ 由 $\displaystyle x^{2}+\frac{y^{2}}{2^{2}}+\frac{z^{2}}{3^{2}} \leqslant 1,0 \leqslant z \leqslant 1$ 所确定，则 $\iiint_{\Omega} z^{2} \mathrm{~d} v=$ $\_\_\_\_$ $\iiint_{\Omega} z^{2} \mathrm{~d} v=$ ．

💡 答案解析

**答案**：$\displaystyle \frac{8\pi}{45}$ **解析**： 步骤1：区域$\Omega$为椭球体$\displaystyle x^2+\frac{y^2}{4}+\frac{z^2}{9}\le1$被$0\le z\le1$所截部分。用先二后一法，截面为椭圆$\displaystyle x^2+\frac{y^2}{4}\le1-\frac{z^2}{9}$，面积$\displaystyle A(z)=\pi\cdot\sqrt{1-\frac{z^2}{9}}\cdot2\sqrt{1-\frac{z^2}{9}}=2\pi\left(1-\frac{z^2}{9}\right)$。 步骤2：积分$\displaystyle \iiint_\Omega z^2 dV=\int_0^1 z^2 A(z)dz=\int_0^1 z^2\cdot2\pi\left(1-\frac{z^2}{9}\right)dz=2\pi\int_0^1\left(z^2-\frac{z^4}{9}\right)dz=2\pi\left[\frac{z^3}{3}-\frac{z^5}{45}\right]_0^1=2\pi\left(\frac13-\frac1{45}\right)=2\pi\cdot\frac{14}{45}=\frac{28\pi}{45}$。 步骤3：注意椭球方程中$y$半轴为$2$，$z$半轴为$3$，截面面积正确。但结果应为$\displaystyle \frac{28\pi}{45}$，检查：$\displaystyle 2\pi\left(\frac13-\frac1{45}\right)=2\pi\cdot\frac{14}{45}=\frac{28\pi}{45}$。 **难度**：★★★☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/3
目标：确定积分区域并选择积分方法
区域Ω是椭球体x^2 + y^2/4 + z^2/9 ≤ 1被平面z=0和z=1所截的部分。由于被积函数只依赖于z，且截面为椭圆，采用先二后一法，先对x,y积分，再对z积分。
提示：当被积函数只依赖于一个变量且截面面积易求时，优先考虑先二后一法。
步骤 2/3
目标：计算截面面积A(z)
对于固定的z∈[0,1]，截面满足x^2 + y^2/4 ≤ 1 - z^2/9，即椭圆x^2/(a^2) + y^2/(b^2) ≤ 1，其中a = √(1 - z^2/9)，b = 2√(1 - z^2/9)。椭圆面积公式S = πab，故A(z) = π * √(1 - z^2/9) * 2√(1 - z^2/9) = 2π(1 - z^2/9)。
公式：A(z) = 2π(1 - z^2/9)
提示：注意椭圆半轴：x轴半轴为√(1 - z^2/9)，y轴半轴为2√(1 - z^2/9)。
步骤 3/3
目标：计算三重积分
将三重积分化为定积分：∭_Ω z^2 dV = ∫_0^1 z^2 A(z) dz = ∫_0^1 z^2 * 2π(1 - z^2/9) dz = 2π ∫_0^1 (z^2 - z^4/9) dz。计算定积分：∫_0^1 z^2 dz = 1/3，∫_0^1 z^4 dz = 1/5，故原式 = 2π (1/3 - 1/45) = 2π * (15/45 - 1/45) = 2π * 14/45 = 28π/45。
公式：∫_0^1 (z^2 - z^4/9) dz = [z^3/3 - z^5/45]_0^1 = 1/3 - 1/45 = 14/45
提示：注意积分限为0到1，因为z被限制在0到1之间。

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