kaoyan1basic 高等数学 第597题
📝 题目
## 第597题 (高等数学 - 填空题) 设 $\Omega$ 是由曲线 $\left\{\begin{array}{l}y^{2}=2 z \\ x=0\end{array}\right.$ 绕 $z$ 轴旋转一周而成的曲面与平面 $z=2$ 和 $z=8$ 所围立体，则 $\iiint_{\Omega}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} v=$ $\_\_\_\_$ ． 设 $\Omega$ 是由曲面 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 与 $z=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}$ 所围成的区域，则 $I=\iiint_{\Omega}(x+z) \mathrm{d} v=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$336\pi$；$\displaystyle \frac{\pi}{8}$ **解析**： 步骤1：对于第一个积分，旋转曲面方程为$y^2+z^2=2z$，即$x^2+y^2=2z$。采用柱坐标，$\Omega$由$\displaystyle z=\frac{r^2}{2}$，$z=2$，$z=8$围成，$r^2=2z$得$r$范围$0\leq r\leq 4$，$z$从$2$到$8$，$r$从$0$到$\sqrt{2z}$。积分$\displaystyle \iiint_\Omega (x^2+y^2)dv=\int_0^{2\pi}d\theta\int_2^8 dz\int_0^{\sqrt{2z}} r^2\cdot r dr=2\pi\int_2^8 \frac{(2z)^2}{4}dz=2\pi\int_2^8 z^2 dz=2\pi\cdot\frac{8^3-2^3}{3}=2\pi\cdot\frac{512-8}{3}=2\pi\cdot168=336\pi$。 步骤2：对于第二个积分，区域由锥面$z=\sqrt{x^2+y^2}$和球面$z=\sqrt{1-x^2-y^2}$围成，采用球坐标，$r$从$0$到$1$，$\phi$从$0$到$\displaystyle \frac{\pi}{4}$，$\theta$从$0$到$2\pi$。被积函数$x+z$，由对称性$\iiint_\Omega x dv=0$，故$\displaystyle I=\iiint_\Omega z dv=\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^{\frac{\pi}{4}}d\phi\int_0^1 r\cos\phi\cdot r^2\sin\phi dr=2\pi\int_0^{\frac{\pi}{4}}\cos\phi\sin\phi d\phi\int_0^1 r^3 dr=2\pi\cdot\frac{1}{2}\sin^2\phi\big|_0^{\frac{\pi}{4}}\cdot\frac{1}{4}=2\pi\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}=\frac{\pi}{8}$。 **难度**：★★★☆☆