kaoyan1basic 高等数学 第599题
📝 题目
## 第599题 (高等数学 - 填空题) 设球体 $x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant z$ 上任一点处的密度等于该点到原点的距离的平方，则此球的质心的 $z$ 坐标为 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{1}{2}$ **解析**： 步骤1：球体$x^2+y^2+z^2\leq z$即$\displaystyle x^2+y^2+(z-\frac{1}{2})^2\leq\frac{1}{4}$，密度$\rho=x^2+y^2+z^2$。质心$z$坐标$\displaystyle \bar{z}=\frac{\iiint_\Omega z\rho dv}{\iiint_\Omega \rho dv}$。 步骤2：采用球坐标，球心在$\displaystyle (0,0,\frac{1}{2})$，半径$\displaystyle \frac{1}{2}$。由对称性，$\iiint_\Omega z\rho dv$和$\iiint_\Omega \rho dv$可计算。利用平移或直接球坐标，得$\displaystyle \bar{z}=\frac{1}{2}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
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