kaoyan1basic 高等数学 第600题
📝 题目
## 第600题 (高等数学 - 填空题) 设 $\Sigma$ 为球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2 a x(a>0)$ ，则面积分 $\iint_{\Sigma}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} S=$ $\_\_\_\_$ ． 答题 区 ✓
💡 答案解析
**答案**：$8\pi a^4$ **解析**： 步骤1：球面$x^2+y^2+z^2=2ax$，即$(x-a)^2+y^2+z^2=a^2$，半径$a$，球心$(a,0,0)$。被积函数$x^2+y^2+z^2=2ax$。 步骤2：$\iint_\Sigma (x^2+y^2+z^2)dS=\iint_\Sigma 2ax dS=2a\iint_\Sigma x dS$。由对称性，$\iint_\Sigma x dS=a\cdot 4\pi a^2=4\pi a^3$，故原积分$=2a\cdot4\pi a^3=8\pi a^4$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：化简球面方程并确定被积函数
将球面方程化为标准形式：x^2+y^2+z^2=2ax ⇒ (x-a)^2+y^2+z^2=a^2，球心(a,0,0)，半径a。被积函数x^2+y^2+z^2=2ax。
公式：x^2+y^2+z^2=2ax
提示：注意球面方程可配方，被积函数可直接用球面方程简化。
步骤 2/4
目标：简化曲面积分
将原积分化为∬_Σ 2ax dS = 2a∬_Σ x dS。
公式：∬_Σ (x^2+y^2+z^2) dS = 2a∬_Σ x dS
提示：利用球面方程简化被积函数。
步骤 3/4
目标：利用对称性计算∬_Σ x dS
由于球面关于x轴对称，且球心在x轴上，由对称性，∬_Σ x dS = a * 球面面积 = a * 4πa^2 = 4πa^3。
公式：∬_Σ x dS = a * 4πa^2 = 4πa^3
提示：对称性：球面上x的平均值为a（球心x坐标）。
步骤 4/4
目标：计算最终结果
原积分 = 2a * 4πa^3 = 8πa^4。
公式：2a * 4πa^3 = 8πa^4
提示：注意系数相乘。
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