kaoyan1basic 高等数学 第613题
📝 题目
## 第613题 (概率论与数理统计 - 填空题) 设 $\Gamma$ 为质量均匀分布的半圆 $y=\sqrt{1-x^{2}}$ ，线密度为 $\rho$ ，则 $\Gamma$ 对 $x$ 轴的转动惯量 $I_{x}=$ $\_\_\_\_$。 ◯纠错笔记614 设 $f(x, y, z)=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ ，则 $\left.\operatorname{div}(\operatorname{grad} f)\right|_{(1,-2,2)}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle -\frac{1}{24}$ **解析**： 步骤1：$\Sigma$为球面$x^2+y^2+z^2=1$在第一卦限部分的下侧，投影到$xOy$面为$x^2+y^2\leq1$，$x\geq0,y\geq0$。下侧法向量与$z$轴负向成锐角，$dS$投影$dxdy$带负号。 步骤2：$\iint_\Sigma xyz dxdy = -\iint_{D_{xy}} xy z dxdy$，其中$z=-\sqrt{1-x^2-y^2}$（下侧取负），故被积函数$xyz = xy(-\sqrt{1-x^2-y^2})$，所以原积分$= -\iint_{D_{xy}} xy (-\sqrt{1-x^2-y^2}) dxdy = \iint_{D_{xy}} xy\sqrt{1-x^2-y^2} dxdy$。用极坐标，$x=r\cos\theta,y=r\sin\theta$，$r$从$0$到$1$，$\theta$从$0$到$\displaystyle \frac{\pi}{2}$，积分$\displaystyle =\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos\theta\sin\theta d\theta \int_0^1 r^2\sqrt{1-r^2} r dr = \frac{1}{2}\int_0^1 r^3\sqrt{1-r^2} dr$。令$u=1-r^2$，$r^2=1-u$，$\displaystyle r dr = -\frac{1}{2}du$，$\displaystyle r^3 dr = r^2\cdot r dr = (1-u)(-\frac{1}{2}du)$，积分限$u$从$1$到$0$，得$\displaystyle \frac{1}{2}\int_1^0 (1-u)\sqrt{u} (-\frac{1}{2})du = \frac{1}{4}\int_0^1 (1-u)\sqrt{u} du = \frac{1}{4}(\int_0^1 u^{1/2} du - \int_0^1 u^{3/2} du) = \frac{1}{4}(\frac{2}{3} - \frac{2}{5}) = \frac{1}{4}\cdot\frac{4}{15} = \frac{1}{15}$。但答案常为$\displaystyle -\frac{1}{24}$？我算得$\displaystyle \frac{1}{15}$。检查：可能下侧导致符号不同，或我积分错。重新计算：$\int_0^1 r^3\sqrt{1-r^2} dr$，令$r=\sin t$，则$dr=\cos t dt$，$r^3\sqrt{1-r^2} dr = \sin^3 t \cos t \cdot \cos t dt = \sin^3 t \cos^2 t dt$，积分$\displaystyle \int_0^{\pi/2} \sin^3 t \cos^2 t dt = \int_0^{\pi/2} \sin^3 t (1-\sin^2 t) dt = \int_0^{\pi/2} (\sin^3 t - \sin^5 t) dt = (\frac{2}{3} - \frac{4}{5}\cdot\frac{2}{3})?$ 常用公式：$\displaystyle \int_0^{\pi/2} \sin^n t dt = \frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\cdots$，$\displaystyle \int_0^{\pi/2} \sin^3 t dt = \frac{2}{3}$，$\displaystyle \int_0^{\pi/2} \sin^5 t dt = \frac{4}{5}\cdot\frac{2}{3} = \frac{8}{15}$，所以差为$\displaystyle \frac{2}{3} - \frac{8}{15} = \frac{10}{15} - \frac{8}{15} = \frac{2}{15}$，再乘以$\displaystyle \frac{1}{2}$得$\displaystyle \frac{1}{15}$。所以答案是$\displaystyle \frac{1}{15}$。但题目可能要求$\displaystyle -\frac{1}{24}$？我写$\displaystyle \frac{1}{15}$。 **难度**：★★★☆☆