kaoyan1basic 高等数学 第615题
📝 题目
## 第615题 (线性代数 - 填空题) 向量场 $\boldsymbol{A}(x, y, z)=(x+y+z) \boldsymbol{i}+x y \boldsymbol{j}+z \boldsymbol{k}$ 的旋度 $\operatorname{rot} \boldsymbol{A}=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{4a}{3\pi}$ **解析**： 步骤1：上半圆域$D$：$x^2+y^2\leq a^2, y\geq0$，形心$y$坐标$\displaystyle \bar{y}=\frac{\iint_D y dxdy}{\iint_D dxdy}$。 步骤2：面积$\displaystyle \iint_D dxdy = \frac{1}{2}\pi a^2$。$\iint_D y dxdy$用极坐标：$\displaystyle \int_0^\pi d\theta \int_0^a r\sin\theta \cdot r dr = \int_0^\pi \sin\theta d\theta \int_0^a r^2 dr = 2\cdot\frac{a^3}{3} = \frac{2a^3}{3}$。故$\displaystyle \bar{y}=\frac{2a^3/3}{\pi a^2/2} = \frac{4a}{3\pi}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：计算旋度的各个分量
旋度公式为 rot A = (∂R/∂y - ∂Q/∂z)i + (∂P/∂z - ∂R/∂x)j + (∂Q/∂x - ∂P/∂y)k，其中 P = x+y+z, Q = xy, R = z。
公式：rot A = (∂R/∂y - ∂Q/∂z)i + (∂P/∂z - ∂R/∂x)j + (∂Q/∂x - ∂P/∂y)k
提示：注意偏导数的计算顺序
步骤 2/5
目标：计算第一个分量 ∂R/∂y - ∂Q/∂z
∂R/∂y = ∂z/∂y = 0，∂Q/∂z = ∂(xy)/∂z = 0，所以第一个分量为 0。
步骤 3/5
目标：计算第二个分量 ∂P/∂z - ∂R/∂x
∂P/∂z = ∂(x+y+z)/∂z = 1，∂R/∂x = ∂z/∂x = 0，所以第二个分量为 1。
步骤 4/5
目标：计算第三个分量 ∂Q/∂x - ∂P/∂y
∂Q/∂x = ∂(xy)/∂x = y，∂P/∂y = ∂(x+y+z)/∂y = 1，所以第三个分量为 y - 1。
步骤 5/5
目标：组合结果
因此，rot A = 0i + 1j + (y-1)k = j + (y-1)k。
提示：最终结果可写作 (0, 1, y-1)
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