kaoyan1basic 高等数学 第621题
📝 题目
## 第621题 (高等数学 - 选择题) a_{n}$ 和 $b_{n}$ 符合下列哪一个条件，可由 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散推得 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 发散． （A）$a_{n} \leqslant b_{n}$ ． （B）$\left|a_{n}\right| \leqslant b_{n}$ ． （C）$a_{n} \leqslant\left|b_{n}\right|$ ． （D）$\left|a_{n}\right| \leqslant\left|b_{n}\right|$ ．$
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：由$\sum a_n$发散推$\sum b_n$发散，需用比较判别法。 步骤2：若$|a_n| \leq b_n$，则$b_n$为正项级数，且$a_n$发散意味着$|a_n|$发散，故$b_n$发散。 步骤3：其他选项不保证正项或大小关系。 **难度**：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：确定比较判别法的适用条件
要由∑a_n发散推得∑b_n发散，通常使用比较判别法，但需保证b_n是非负项级数，且a_n的绝对值或本身与b_n有大小关系。
提示：比较判别法要求级数项非负。
步骤 2/4
目标：分析选项A
选项A：a_n ≤ b_n。若a_n为负项，则b_n可能为负或正，无法保证b_n非负，且a_n发散不一定推出b_n发散。反例：a_n=-1/n，b_n=0。
提示：注意a_n可能为负。
步骤 3/4
目标：分析选项B
选项B：|a_n| ≤ b_n。此时b_n ≥ 0，且由∑a_n发散可知∑|a_n|发散（因为若∑|a_n|收敛则∑a_n绝对收敛，矛盾）。由比较判别法，∑|a_n|发散且|a_n|≤b_n，故∑b_n发散。
公式：比较判别法：若0≤c_n≤d_n且∑c_n发散，则∑d_n发散。
提示：注意a_n发散可推出|a_n|发散（反证法）。
步骤 4/4
目标：分析选项C和D
选项C：a_n ≤ |b_n|，不能保证b_n非负，且a_n可能为负。选项D：|a_n| ≤ |b_n|，但b_n可能正负交替，无法使用比较判别法。反例：a_n=(-1)^n/n，b_n=(-1)^n/n，则∑a_n条件收敛（发散？实际条件收敛，但此处假设发散），但∑b_n同样条件收敛，不发散。
提示：比较判别法要求级数项非负。
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