kaoyan1basic 高等数学 第622题
📝 题目
## 第622题 (高等数学 - 选择题) 在命题 （1）设 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}$ 收敛。 （2）设 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛且 $n \rightarrow \infty$ 时 $a_{n}$ 与 $b_{n}$ 是等价无穷小，则 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 收敛。 （3）设 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，则 $\displaystyle a_{n}=o\left(\frac{1}{n}\right)(n \rightarrow \infty)$ 。 （4）设 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，又 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 绝对收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} b_{n}$ 绝对收敛。 中正确的是 （A）（1）． （B）（2）． （C）（3）． （D）
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：(1)错误。反例：$\displaystyle a_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$，$\sum a_n$收敛，但$\displaystyle \sum a_n^2 = \sum \frac{1}{n}$发散。 步骤2：(2)错误。反例：$\displaystyle a_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$，$\displaystyle b_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} + \frac{1}{n}$，等价但$\sum b_n$发散。 步骤3：(3)错误。反例：$\displaystyle a_n = \frac{(-1)^n}{n}$，收敛但$n a_n = (-1)^n$不是无穷小。 步骤4：(4)正确。由$\sum b_n$绝对收敛，$b_n$有界，$|a_n b_n| \leq M|a_n|$，但$\sum a_n$收敛不一定绝对，需用Cauchy-Schwarz：$\sum |a_n b_n| \leq \sqrt{\sum a_n^2 \sum b_n^2}$，但$\sum a_n^2$不一定收敛。实际由$\sum b_n$绝对收敛，$b_n \to 0$，$|a_n b_n| \leq |b_n|$对充分大$n$不成立。正确证法：$\displaystyle \sum |a_n b_n| \leq \frac{1}{2}\sum (a_n^2 + b_n^2)$，但$\sum a_n^2$不一定收敛。故(4)错误。 **难度**：★★★☆☆