kaoyan1basic 高等数学 第624题
📝 题目
## 第624题 (高等数学 - 选择题) 设 $a>0$ 为常数，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} \cdot \frac{a^{n}}{1+a^{n}}$ 条件收敛，则 $a$ 的取值范围是 （A）$a \in(0,+\infty)$ ． （B）$a \in(0,1]$ ． （C）$a \in[1,+\infty)$ ． （D）$\displaystyle a \in\left[\frac{1}{2},+\infty\right)$ ．设 $\alpha, \beta, \gamma$ 均为大于 1 的常数，则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{\gamma}+\alpha^{n}}{n^{\alpha}+\ln ^{\beta} n+\gamma^{n}}$
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：级数$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} \cdot \frac{a^n}{1+a^n}$条件收敛，需$\displaystyle \sum \frac{1}{n} \cdot \frac{a^n}{1+a^n}$发散。 步骤2：当$a>1$时，$\displaystyle \frac{a^n}{1+a^n} \to 1$，通项$\displaystyle \sim \frac{1}{n}$，级数条件收敛；当$0
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析级数条件收敛的条件
级数∑(-1)^{n-1}/n * a^n/(1+a^n)条件收敛，需∑1/n * a^n/(1+a^n)发散。
提示：条件收敛要求原级数收敛，而绝对值级数发散。
步骤 2/5
目标：讨论a>1的情况
当a>1时，a^n/(1+a^n)→1，通项~1/n，绝对值级数发散，原级数由莱布尼茨判别法收敛，故条件收敛。
公式：a^n/(1+a^n) ~ 1
提示：注意极限行为。
步骤 3/5
目标：讨论0
当0
公式：a^n/(1+a^n) ~ a^n
提示：比较审敛法。
步骤 4/5
目标：讨论a=1的情况
当a=1时，通项为1/(2n)，绝对值级数发散，原级数由莱布尼茨判别法收敛，故条件收敛。
提示：莱布尼茨判别法。
步骤 5/5
目标：综合结论
综上，a∈(0,1]时级数条件收敛。
提示：注意边界a=1。
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