kaoyan1basic 高等数学 第626题
📝 题目
## 第626题 (高等数学 - 选择题) 设正数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 单调减少，且交错级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} a_{n}$ 发散，则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\left(\frac{1}{a_{n}+1}\right)^{n}$ （A）发散． （B）条件收敛． （C）绝对收敛。 （D）玫散性不能仅由题设条件确定．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：正数列$\{a_n\}$单调减少，交错级数$\sum (-1)^{n-1} a_n$发散，则$a_n$不趋于0，即$a_n \to l > 0$。 步骤2：考虑$\displaystyle \sum (-1)^{n-1} \left(\frac{1}{a_n+1}\right)^n$，其绝对值项$\displaystyle \left(\frac{1}{a_n+1}\right)^n \leq \left(\frac{1}{l+1}\right)^n$，几何级数收敛，故绝对收敛。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：分析正数列 {a_n} 的性质
由于 {a_n} 单调减少且为正数列，且交错级数 ∑(-1)^{n-1} a_n 发散，根据莱布尼茨判别法，发散的原因只能是 a_n 不趋于 0。因此 a_n 收敛于某个正数 l > 0，即 lim_{n→∞} a_n = l > 0。
提示：注意交错级数收敛的必要条件是通项趋于 0，发散则说明通项不趋于 0。
步骤 2/3
目标：考虑待判断级数的绝对值级数
待判断级数为 ∑(-1)^{n-1} (1/(a_n+1))^n，其绝对值级数为 ∑ (1/(a_n+1))^n。由于 a_n → l > 0，存在 N 使得当 n > N 时，a_n > l/2，从而 1/(a_n+1) < 1/(l/2+1) = 2/(l+2) < 1。因此 (1/(a_n+1))^n ≤ (2/(l+2))^n，而几何级数 ∑ (2/(l+2))^n 收敛，故绝对值级数收敛。
公式：比较判别法：0 ≤ (1/(a_n+1))^n ≤ (2/(l+2))^n，且 ∑ (2/(l+2))^n 收敛。
提示：利用极限定义找到上界，转化为等比级数。
步骤 3/3
目标：判断原级数的收敛性
由于绝对值级数收敛，原级数绝对收敛。
提示：绝对收敛的级数必收敛。
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