kaoyan1basic 高等数学 第629题
📝 题目
## 第629题 (高等数学 - 选择题) 设 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln (n!)}{n^{p}}$ 收敛，则 $p$ 的取值范围是 （A）$p>1$ ． （B）$p>2$ ． （C） $0
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：$\ln(n!) \sim n \ln n - n$，故$\displaystyle \frac{\ln(n!)}{n^p} \sim \frac{\ln n}{n^{p-1}}$。 步骤2：级数$\displaystyle \sum \frac{\ln n}{n^{p-1}}$收敛当且仅当$p-1 > 1$，即$p>2$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：化简通项，利用斯特林公式近似ln(n!)
由斯特林公式，ln(n!) ~ n ln n - n，因此原级数的通项 ~ (n ln n - n)/n^p = ln n / n^{p-1} - 1/n^{p-1}。由于1/n^{p-1}的收敛性取决于p-1>1，而ln n / n^{p-1}的收敛性更严格，故主要考虑ln n / n^{p-1}。
公式：ln(n!) ~ n ln n - n
提示：斯特林公式在n很大时成立，用于处理阶乘的对数。
步骤 2/2
目标：判断级数∑ ln n / n^{p-1}的收敛性
级数∑ ln n / n^{α}收敛当且仅当α > 1。这里α = p-1，所以需要p-1 > 1，即p > 2。
公式：∑ ln n / n^α 收敛 ⇔ α > 1
提示：比较判别法或积分判别法可证。
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