kaoyan1basic 高等数学 第630题
📝 题目
## 第630题 (高等数学 - 选择题) 设 $f(x)$ 有连续的一阶导数且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=a>0$ ，则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} f\left(\frac{1}{n}\right)$ （A）发散． （B）绝对收敛． （C）条件收敛。 （D）敛散性与 $a$ 有关．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：由$\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{f(x)}{x}=a>0$，得$f(0)=0$，且$\displaystyle f(\frac{1}{n}) \sim \frac{a}{n}$。 步骤2：$\displaystyle \sum (-1)^n f(\frac{1}{n})$为交错级数，通项绝对值$\displaystyle \sim \frac{a}{n}$，故条件收敛。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：由极限条件推出f(0)=0和渐近关系
由$\lim_{x\to 0} \frac{f(x)}{x}=a>0$，且f(x)连续，得f(0)=0。进一步，当x→0时，f(x)~ax，故$f(\frac{1}{n}) \sim \frac{a}{n}$。
公式：$\lim_{x\to 0} \frac{f(x)}{x}=a \Rightarrow f(0)=0, f(x)\sim ax$
提示：注意极限存在且非零，说明f(x)与x是同阶无穷小。
步骤 2/3
目标：判断级数的绝对收敛性
考虑绝对值级数$\sum_{n=1}^{\infty} \left|(-1)^n f(\frac{1}{n})\right| = \sum_{n=1}^{\infty} \left|f(\frac{1}{n})\right|$。由$f(\frac{1}{n}) \sim \frac{a}{n}$，故$\left|f(\frac{1}{n})\right| \sim \frac{a}{n}$，而$\sum \frac{a}{n}$发散，所以绝对值级数发散。
公式：$\left|f(\frac{1}{n})\right| \sim \frac{a}{n}$，$\sum \frac{1}{n}$发散
提示：比较判别法的极限形式。
步骤 3/3
目标：判断原级数的条件收敛性
原级数为交错级数$\sum (-1)^n f(\frac{1}{n})$。由于$f(\frac{1}{n})$单调递减趋于0（因为f(x)在0附近单调性可由导数符号保证，但题目未明确，需利用极限条件：由$f(x)\sim ax$，当n充分大时，$f(\frac{1}{n})$为正且递减），故由莱布尼茨判别法，级数收敛。结合上一步，级数条件收敛。
公式：莱布尼茨判别法：若$b_n$单调递减趋于0，则$\sum (-1)^n b_n$收敛
提示：注意验证$f(1/n)$的单调性：由$f'(0)=a>0$，存在邻域内f递增，故$f(1/n)$递减。
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