kaoyan1basic 高等数学 第631题
📝 题目
## 第631题 (高等数学 - 选择题) 若 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的收敛域是 $(-8,8]$ ，则 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{a_{n} x^{n}}{n(n-1)}$ 的收敛半径及 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{3 n}$ 的收敛域分别是 （A） $8,(-2,2]$ ． （B） $8,[-2,2]$ ． （C） $4,(-2,2]$ ． （D） $8,[-2,2)$ ．
💡 答案解析
**答案**：A **解析**： 步骤1：$\sum a_n x^n$收敛域$(-8,8]$，收敛半径$R=8$。 步骤2：$\displaystyle \sum \frac{a_n x^n}{n(n-1)}$的收敛半径不变，仍为8。 步骤3：$\sum a_n x^{3n}$，令$t=x^3$，收敛域$t \in (-8,8]$，即$x^3 \in (-8,8]$，得$x \in (-2,2]$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定原级数的收敛半径
已知级数 ∑_{n=0}^{∞} a_n x^n 的收敛域为 (-8,8]，根据收敛域的定义，收敛半径 R = 8。
提示：收敛域端点需单独判断，但收敛半径由区间长度一半决定。
步骤 2/3
目标：求第一个级数的收敛半径
级数 ∑_{n=2}^{∞} a_n x^n / [n(n-1)] 与 ∑ a_n x^n 有相同的收敛半径，因为乘以 1/[n(n-1)] 不影响收敛半径（系数比值的极限不变）。所以收敛半径仍为 8。
提示：乘以关于 n 的有界非零因子不改变收敛半径。
步骤 3/3
目标：求第二个级数的收敛域
级数 ∑_{n=0}^{∞} a_n x^{3n}，令 t = x^3，则化为 ∑ a_n t^n。已知 t 的收敛域为 (-8,8]，即 -8 < t ≤ 8。代入 t = x^3，得 -8 < x^3 ≤ 8，解得 -2 < x ≤ 2。因此收敛域为 (-2,2]。
公式：t = x^3
提示：注意开立方时保持不等号方向，且端点需单独验证。
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