kaoyan1basic 高等数学 第632题
📝 题目
## 第632题 (高等数学 - 选择题) 级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{n}{3^{n}}$ 的和 $S=$ （A）$\displaystyle \frac{3}{32}$ ． （B）$\displaystyle \frac{3}{16}$ ． （C）$\displaystyle \frac{3}{8}$ ． （D）$\displaystyle \frac{3}{4}$ ． ## $\sigma^{\circ}$
纠错笔记
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：考虑幂级数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} n x^{n-1} = \frac{1}{(1+x)^2}$，$|x|<1$。 步骤2：令$\displaystyle x=\frac{1}{3}$，则$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} n \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} = \frac{1}{(1+\frac{1}{3})^2} = \frac{9}{16}$。 步骤3：原级数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} \frac{n}{3^n} = \frac{1}{3} \cdot \frac{9}{16} = \frac{3}{16}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：构造幂级数并求和函数
考虑幂级数 ∑_{n=1}^∞ (-1)^{n-1} n x^{n-1}，其和函数为 1/(1+x)^2，|x|<1。
公式：∑_{n=1}^∞ (-1)^{n-1} n x^{n-1} = 1/(1+x)^2
提示：利用已知展开式 1/(1+x)^2 = ∑_{n=0}^∞ (-1)^n (n+1) x^n，或逐项求导得到。
步骤 2/3
目标：代入 x=1/3 计算级数值
令 x=1/3，则 ∑_{n=1}^∞ (-1)^{n-1} n (1/3)^{n-1} = 1/(1+1/3)^2 = 1/(4/3)^2 = 9/16。
公式：1/(1+1/3)^2 = 9/16
提示：注意分母计算：1+1/3=4/3，平方得16/9，倒数得9/16。
步骤 3/3
目标：得到原级数和
原级数 ∑_{n=1}^∞ (-1)^{n-1} n/3^n = (1/3) * ∑_{n=1}^∞ (-1)^{n-1} n (1/3)^{n-1} = (1/3)*(9/16)=3/16。
公式：∑_{n=1}^∞ (-1)^{n-1} n/3^n = 3/16
提示：将 n/3^n 写成 n*(1/3)^n = (1/3)*n*(1/3)^{n-1}，提取公因子1/3。
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