kaoyan1basic 高等数学 第633题
📝 题目
## 第633题 (高等数学 - 选择题) 幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n(n+1)}$ 的和函数 $S(x)=$ （A） $\displaystyle \ln (1-x)+\frac{1}{x} \ln (1-x)+1 \quad(-1 \leqslant x<1, x \neq 0)$ ． （B） $\displaystyle \ln (1+x)+\frac{1}{x} \ln (1-x)+1 \quad(-1
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：设$\displaystyle S(x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n(n+1)}$，$x\neq 0$。 步骤2：逐项求导两次：$\displaystyle S''(x)=\sum_{n=1}^\infty x^{n-1} = \frac{1}{1-x}$，$|x|<1$。 步骤3：积分得$S'(x)=-\ln(1-x)+C_1$，由$S'(0)=0$得$C_1=0$；再积分得$\displaystyle S(x)=-\ln(1-x) + \frac{1}{x}\ln(1-x) + 1$，$x\in[-1,1)$且$x\neq 0$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：设和函数并确定定义域
设 S(x) = ∑_{n=1}^∞ x^n / [n(n+1)]，x ≠ 0。收敛域为 [-1,1) 且 x ≠ 0。
公式：S(x) = ∑_{n=1}^∞ x^n / [n(n+1)]
提示：注意 x=0 时级数为0，但和函数表达式在 x=0 处需单独定义。
步骤 2/4
目标：逐项求导两次化为几何级数
对 S(x) 逐项求导得 S'(x) = ∑_{n=1}^∞ x^{n-1} / (n+1)；再求导得 S''(x) = ∑_{n=1}^∞ x^{n-1} = 1/(1-x)，|x|<1。
公式：S''(x) = 1/(1-x)
提示：逐项求导在收敛区间内成立。
步骤 3/4
目标：积分求 S'(x)
对 S''(x) 积分：S'(x) = ∫ 1/(1-x) dx = -ln(1-x) + C1。由 S'(0)=0 得 C1=0，故 S'(x) = -ln(1-x)。
公式：S'(x) = -ln(1-x)
提示：利用初始条件确定积分常数。
步骤 4/4
目标：积分求 S(x)
对 S'(x) 积分：S(x) = ∫ -ln(1-x) dx。令 u=1-x，则 ∫ -ln(1-x) dx = ∫ ln u du = u ln u - u + C = (1-x)ln(1-x) - (1-x) + C。由 S(0)=0 得 C=1，故 S(x) = (1-x)ln(1-x) + x。整理得 S(x) = -ln(1-x) + (1/x)ln(1-x) + 1。
公式：S(x) = -ln(1-x) + (1/x)ln(1-x) + 1
提示：注意积分后需化简，并利用 S(0)=0 确定常数。
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