kaoyan1basic 高等数学 第645题
📝 题目
## 第645题 (高等数学 - 选择题) 设 $C_{k}(k=1,2,3)$ 分别为曲线 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1, \frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1, x^{2}+y^{2}=2$ ，其方向为逆时针方向，$I_{k}=\oint_{C_{k}}\left(3 y x^{2}+y^{3}\right) \mathrm{d} x+(3 x+y) \mathrm{d} y(k=1,2,3)$ ．则 （A）$I_{1}
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：步骤1：利用格林公式，$\displaystyle I_k=\iint_{D_k}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathrm{d}\sigma$，其中$P=3yx^2+y^3$，$Q=3x+y$。步骤2：$\displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x}=3$，$\displaystyle \frac{\partial P}{\partial y}=3x^2+3y^2$，故被积函数为$3-3(x^2+y^2)=3(1-x^2-y^2)$。步骤3：$D_1:x^2+y^2\leq1$，$I_1=3\iint_{D_1}(1-x^2-y^2)\mathrm{d}\sigma>0$；$\displaystyle D_2:\frac{x^2}{2}+y^2\leq1$，部分区域$x^2+y^2>1$，积分可能为负；$D_3:x^2+y^2\leq2$，大部分区域$x^2+y^2>1$，积分更负。故$I_1>0>I_2>I_3$，即$I_2
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：应用格林公式将曲线积分转化为二重积分
令 P = 3yx^2 + y^3, Q = 3x + y，则 ∂Q/∂x = 3, ∂P/∂y = 3x^2 + 3y^2。由格林公式，I_k = ∬_{D_k} (∂Q/∂x - ∂P/∂y) dσ = ∬_{D_k} (3 - 3(x^2+y^2)) dσ = 3 ∬_{D_k} (1 - x^2 - y^2) dσ。
公式：格林公式：∮_C P dx + Q dy = ∬_D (∂Q/∂x - ∂P/∂y) dσ
提示：注意曲线方向为逆时针，格林公式取正号。
步骤 2/2
目标：分析各积分区域上被积函数的符号
被积函数为 3(1 - x^2 - y^2)。对于 D_1: x^2+y^2 ≤ 1，有 1 - x^2 - y^2 ≥ 0，故 I_1 > 0。对于 D_2: x^2/2 + y^2 ≤ 1，该椭圆区域包含部分圆 x^2+y^2=1 的外部，其中 1 - x^2 - y^2 < 0，且面积较大，故 I_2 < 0。对于 D_3: x^2+y^2 ≤ 2，大部分区域 x^2+y^2 > 1，被积函数为负，且区域更大，故 I_3 < I_2 < 0。因此 I_2 < I_1 < I_3。
公式：被积函数符号由 1 - x^2 - y^2 决定
提示：比较积分大小时，可考虑被积函数的正负区域面积和大小。
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